112
7 Groupes classiques
sur A = End D (V ). On a l’interprétation G = Spin(h), U(h, f ) = O(A, σ ). Soit
maintenant (V , h , f ) une seconde paire avec V de même dimension que V . Elle
définit une classe [(V , h , f )] ∈ H 1 (k, U(h, f )). Son image dans H 1 (k, Z/2Z)
est appelé le discriminant relatif disc h (h ).
Nous allons vérifier que le discriminant est additif pour les sommes orthogonales.
On suppose que (h, f ) = (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 2 , f 2 ). On a un plongement ρ :
U(h 1 , f 1 ) × U(h 2 , f 2 ) )→ U(h 1 ⊥ h 2 , f 1 ⊥ f 2 ) = U(h, f ); il donne lieu à
ρ ∗ : H
1 (k, U(h 1 , f 1 )) × H
1 (k, U(h 2 , f 2 )) → H
1 (k, U(h, f )).
Ceci est l’interprétation cohomologique de la somme orthogonale de paires hermitiennes. Nous affirmons que le diagramme suivant est commutatif
(∗)
U(h 1 ,f 1 ) × U(h 2 ,f 2 )
ρ
U(h,f )
Z/2Z ⊕ Z/2Z
Z/2Z.
Il suffit en effet de le vérifier dans le cas déployé ce qui est bien connu [113, IV.6.5].
Ceci entraîne l’additivité du discriminant relatif, i.e.
disc (h,f ) (h
1 ⊥ h
2 , f
1 ⊥ f
2 ) = disc (h 1 ,f 1 ) (h
1 , f
1 ) disc (h 2 ,f 2 ) (h
2 , f
2 ).
On suppose maintenant que disc h (h ) est trivial, alors la classe [(V , h , f )] ∈
H 1 (k, U(h, f )). définit un élément [γ ] ∈ H 1 (k, SU(h, f ))/(Z/2Z) )→
H 1 (k, U(h, f )). Le Lemme 7.4.5.(2) montre que le bord δ : H 1 (k, SU(h, f )) →
H 2
fppf (k, μ 2 ) donne lieu à un invariant
H
1 (k, SU(h))/(Z/2Z) → H
2
fppf (k, μ 2 )/Z.[D].
On peut donc définir l’invariant de Clifford relatif Cl (h,f ) (h , f ) = δ(γ ) ∈
H 2
fppf (k, μ 2 )/Z.[D]. En utilisant un autre diagramme, on établit que l’invariant de
Clifford relatif est additif, voir [11, §2.2]. Dans le cas de dimension paire, pour
avoir une classification “absolue”, on prend comme origine la forme hyperbolique.
Cet invariant absolu est noté traditionnellement e 2 . Ainsi on dispose du discriminant
d’un relevé hermitien d’une paire quadratique de son invariant de Clifford. De plus,
ces invariants ne dépendent que de la paire quadratique si bien que l’on dispose ainsi
du discriminant d’une paire quadratique de son invariant e 2 .
Nous allons rappeler comment la définition de l’invariant de Clifford absolu se
généralise en dimension arbitraire de la façon suivante [15, §5.1]. On se donne une
paire hermitienne (h, f ) sur A = End D (V ) (de degré 2n) de discriminant trivial.
L’algèbre de Clifford C(A, σ h , f ) se décompose en un produit C + (A, σ h , f ) ×
C − (A, σ h , f ) d’algèbres simples centrales [115, th. 8.10]. La relation fondamentale
(ibid, 9.12) [A] = [C + (A, σ h , f )] − [C − (A, σ h , f )] ∈ Br(k) permet de poser
e 2 (h, f ) = e 2 (A, σ h , f ) = [C + (A, σ h , f )] ∈ Br(k)/Z.[A].
7 Groupes classiques
sur A = End D (V ). On a l’interprétation G = Spin(h), U(h, f ) = O(A, σ ). Soit
maintenant (V , h , f ) une seconde paire avec V de même dimension que V . Elle
définit une classe [(V , h , f )] ∈ H 1 (k, U(h, f )). Son image dans H 1 (k, Z/2Z)
est appelé le discriminant relatif disc h (h ).
Nous allons vérifier que le discriminant est additif pour les sommes orthogonales.
On suppose que (h, f ) = (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 2 , f 2 ). On a un plongement ρ :
U(h 1 , f 1 ) × U(h 2 , f 2 ) )→ U(h 1 ⊥ h 2 , f 1 ⊥ f 2 ) = U(h, f ); il donne lieu à
ρ ∗ : H
1 (k, U(h 1 , f 1 )) × H
1 (k, U(h 2 , f 2 )) → H
1 (k, U(h, f )).
Ceci est l’interprétation cohomologique de la somme orthogonale de paires hermitiennes. Nous affirmons que le diagramme suivant est commutatif
(∗)
U(h 1 ,f 1 ) × U(h 2 ,f 2 )
ρ
U(h,f )
Z/2Z ⊕ Z/2Z
Z/2Z.
Il suffit en effet de le vérifier dans le cas déployé ce qui est bien connu [113, IV.6.5].
Ceci entraîne l’additivité du discriminant relatif, i.e.
disc (h,f ) (h
1 ⊥ h
2 , f
1 ⊥ f
2 ) = disc (h 1 ,f 1 ) (h
1 , f
1 ) disc (h 2 ,f 2 ) (h
2 , f
2 ).
On suppose maintenant que disc h (h ) est trivial, alors la classe [(V , h , f )] ∈
H 1 (k, U(h, f )). définit un élément [γ ] ∈ H 1 (k, SU(h, f ))/(Z/2Z) )→
H 1 (k, U(h, f )). Le Lemme 7.4.5.(2) montre que le bord δ : H 1 (k, SU(h, f )) →
H 2
fppf (k, μ 2 ) donne lieu à un invariant
H
1 (k, SU(h))/(Z/2Z) → H
2
fppf (k, μ 2 )/Z.[D].
On peut donc définir l’invariant de Clifford relatif Cl (h,f ) (h , f ) = δ(γ ) ∈
H 2
fppf (k, μ 2 )/Z.[D]. En utilisant un autre diagramme, on établit que l’invariant de
Clifford relatif est additif, voir [11, §2.2]. Dans le cas de dimension paire, pour
avoir une classification “absolue”, on prend comme origine la forme hyperbolique.
Cet invariant absolu est noté traditionnellement e 2 . Ainsi on dispose du discriminant
d’un relevé hermitien d’une paire quadratique de son invariant de Clifford. De plus,
ces invariants ne dépendent que de la paire quadratique si bien que l’on dispose ainsi
du discriminant d’une paire quadratique de son invariant e 2 .
Nous allons rappeler comment la définition de l’invariant de Clifford absolu se
généralise en dimension arbitraire de la façon suivante [15, §5.1]. On se donne une
paire hermitienne (h, f ) sur A = End D (V ) (de degré 2n) de discriminant trivial.
L’algèbre de Clifford C(A, σ h , f ) se décompose en un produit C + (A, σ h , f ) ×
C − (A, σ h , f ) d’algèbres simples centrales [115, th. 8.10]. La relation fondamentale
(ibid, 9.12) [A] = [C + (A, σ h , f )] − [C − (A, σ h , f )] ∈ Br(k) permet de poser
e 2 (h, f ) = e 2 (A, σ h , f ) = [C + (A, σ h , f )] ∈ Br(k)/Z.[A].