7.4 Le cas de type D
111
Démonstration
(1) Comme il existe une extension de corps F/k telle que A F est d’indice 2, il
est loisible de supposer que A est d’indice 2. Si k est de caractéristique nulle,
il s’agit alors du lemme de Kneser. Si k est de caractéristique p > 0, on
va utiliser la méthode de relèvement en caractéristique nulle au moyen d’un
anneau de Cohen O de corps de fractions K tel que O/pO = k. Le k-groupe
G = Spin(A, σ, f ) est une k-forme du groupe spécial orthogonal déployé
Spin 2n . Comme Aut(Spin 2n ) = PSO 2n Z/2Z est lisse, le lemme de Hensel
cohomologique [60, XXIV.8.1] produit une O-forme G de Spin 2n telle que
G × O k ∼ = G. Calmès et Fasel ont étendu sur une base arbitraire la notion
de paire quadratique si bien que G = Spin(A , σ , f ) où A désigne une
O-algèbre d’Azumaya de degré 2n munie d’une O-paire quadratique (σ , f )
[33, 8.4.0.63]. On peut supposer que (A, σ, f ) est la réduction modulo p de
(A , σ , f ). De plus, suivant le §4.4 de loc. cit., on dispose des O-schémas
en groupes lisses O + (A , σ , f ), O(A , σ , f ) qui s’insèrent dans une suite
exacte de O-schémas en groupes
1 → O
+ (A
, σ
, f
) → O(A
, σ
, f
)
π
− → Z/2Z → 1.
On considère le diagramme commutatif
O(A , σ , f )(K)
π K
Z/2Z
O(A , σ , f )(O)
π O
Z/2Z
=
=
O(A, σ, f )(k)
π k
Z/2Z.
Comme Br(O) s’injecte dans Br(K), il suit que A
+
K n’est pas déployée et
le cas de caractéristique nulle indique que π K est triviale et a fortiori π O
également. Le lemme de Hensel indique que la réduction modulo p, i.e.
O(A , σ , f )(O) → O(A, σ, f )(k), est surjective. Le diagramme permet de
conclure que π k est trivial.
(2) On écrit A = M r (D) avec D à division. D’après (1), 1 ∈ Z/2Z s’applique sur
une classe non triviale γ ∈ H 1 (k, SU(V , h)). Si δ(γ ) = 0, alors γ provient
d’un G-torseur X et on a γ k(X) = 1, donc SU(V , h)(k(X)) = U(V , h)(k(X)).
Mais D ⊗ k k(X) est à division [143, 5.2], ce qui contredit (1). Ceci montre que
0 = δ(γ ) ∈ 2 Br(k). Or après extension au corps de fonctions de la variété Y de
Severi-Brauer de D, on a γ k(Y ) = 1, d’où δ(γ ) ∈ ker
2 Br(k) → 2 Br(k(Y ))
.
Le théorème d’Amitsur [86, §5.4] permet de conclure que δ(γ ) = [D].
On va maintenant considérer des invariants cohomologiques à la manière de
Bartels [9] par rapport à un relevé hermitien (h, f ) d’une paire quadratique (σ, f )
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Démonstration
(1) Comme il existe une extension de corps F/k telle que A F est d’indice 2, il
est loisible de supposer que A est d’indice 2. Si k est de caractéristique nulle,
il s’agit alors du lemme de Kneser. Si k est de caractéristique p > 0, on
va utiliser la méthode de relèvement en caractéristique nulle au moyen d’un
anneau de Cohen O de corps de fractions K tel que O/pO = k. Le k-groupe
G = Spin(A, σ, f ) est une k-forme du groupe spécial orthogonal déployé
Spin 2n . Comme Aut(Spin 2n ) = PSO 2n Z/2Z est lisse, le lemme de Hensel
cohomologique [60, XXIV.8.1] produit une O-forme G de Spin 2n telle que
G × O k ∼ = G. Calmès et Fasel ont étendu sur une base arbitraire la notion
de paire quadratique si bien que G = Spin(A , σ , f ) où A désigne une
O-algèbre d’Azumaya de degré 2n munie d’une O-paire quadratique (σ , f )
[33, 8.4.0.63]. On peut supposer que (A, σ, f ) est la réduction modulo p de
(A , σ , f ). De plus, suivant le §4.4 de loc. cit., on dispose des O-schémas
en groupes lisses O + (A , σ , f ), O(A , σ , f ) qui s’insèrent dans une suite
exacte de O-schémas en groupes
1 → O
+ (A
, σ
, f
) → O(A
, σ
, f
)
π
− → Z/2Z → 1.
On considère le diagramme commutatif
O(A , σ , f )(K)
π K
Z/2Z
O(A , σ , f )(O)
π O
Z/2Z
=
=
O(A, σ, f )(k)
π k
Z/2Z.
Comme Br(O) s’injecte dans Br(K), il suit que A
+
K n’est pas déployée et
le cas de caractéristique nulle indique que π K est triviale et a fortiori π O
également. Le lemme de Hensel indique que la réduction modulo p, i.e.
O(A , σ , f )(O) → O(A, σ, f )(k), est surjective. Le diagramme permet de
conclure que π k est trivial.
(2) On écrit A = M r (D) avec D à division. D’après (1), 1 ∈ Z/2Z s’applique sur
une classe non triviale γ ∈ H 1 (k, SU(V , h)). Si δ(γ ) = 0, alors γ provient
d’un G-torseur X et on a γ k(X) = 1, donc SU(V , h)(k(X)) = U(V , h)(k(X)).
Mais D ⊗ k k(X) est à division [143, 5.2], ce qui contredit (1). Ceci montre que
0 = δ(γ ) ∈ 2 Br(k). Or après extension au corps de fonctions de la variété Y de
Severi-Brauer de D, on a γ k(Y ) = 1, d’où δ(γ ) ∈ ker
2 Br(k) → 2 Br(k(Y ))
.
Le théorème d’Amitsur [86, §5.4] permet de conclure que δ(γ ) = [D].
On va maintenant considérer des invariants cohomologiques à la manière de
Bartels [9] par rapport à un relevé hermitien (h, f ) d’une paire quadratique (σ, f )