110
7 Groupes classiques
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer que k est algébriquement
clos. Ceci permet de supposer que A = End k (V ) et que (σ, f ) est adjointe à une
forme quadratique non singulière q de dimension 2n [115, 5.11]. Il existe un unique
sous-espace vectoriel W de V tel que I = Hom k (V , W ) ⊂ A = End k (V ) et W
est de dimension n. Ainsi P ⊂ O + (A, σ, f ) est le stabilisateur de W . D’après
l’exemple 6.6 de loc. cit., W est un sous-espace totalement isotrope de V , i.e. q
s’annule sur W . Suivant [125, Prop. 12.13], P est bien un k-sous-groupe parabolique
de O + (q) = O + (A, σ, f ) si bien que O + (A, σ, f )/P est la variété des sous-espaces
totalement isotropes maximaux. Au vu de l’exemple 17.9.(2) de loc. cit., on a P =
R u (P ) GL(W ) donc P red est de type A n−1 . Cela impose le type de P .
On dit qu’un relèvement hermitien (h, f ) de (σ, f ) est hyperbolique si (σ, f ) est
hyperbolique.
Lemme 7.4.4 Soit (h, f ) un relèvement hermitien d’une paire quadratique. Alors
la somme orthogonale (h, f ) ⊥ (−h, −f ) est hyperbolique.
On observe que (−h, −f ) est un relèvement hermitien de (σ, f ).
Démonstration On pose B = End D (V ⊕ V ), τ = σ h⊥−h et (τ, F ) la paire
quadratique. Si x =
a b
c d
, on a τ (b) =
σ h (a) −σ h (c)
−σ h (b) σ h (d).
. On note
I = Hom D (V ⊕ V , V ) ⊂ B l’idéal défini par le plongement diagonal V V→ V ⊕ V ,
c’est-à-dire formé des éléments du type
a d
a d
. Pour deux tels éléments x, x , on
calcule
τ (x) x
=
σ (a) −σ (a)
−σ (d) σ (d)
a d
a d
= 0.
On a donc τ (I )I = 0. Il reste à vérifier la condition sur F . Un élément x ∈
Sym(B, τ ) ∩ I est de la forme x =
a −a
a −a
avec a symétrique pour σ . Alors
F (x) = f (a) + f (−a) = 0. Ainsi (τ, F ) est hyperbolique.
Le fait suivant généralise un résultat de Kneser [112, §2.6, Lemma 1].
Lemme 7.4.5 Soit (σ, f ) une paire quadratique comme ci-dessus. On considère les
suites exactes
1 → μ 2 → G = Spin(A, σ, f )
ρ
− → O
+ (A, σ, f ) → 1
et
1 → O
+ (A, σ, f ) → O(A, σ, f ) → Z/2Z → 1.
(1) On suppose que [A] = 0 ∈ Br(k). Alors on a O + (A, σ, f )(k) = O(A, σ, f )(k).
(2) Le composé
Z/2Z → H
1
k, O
+ (A, σ, f )
δ
− → H
2
fppf (k, μ 2 )
applique 1 sur [A].
7 Groupes classiques
Démonstration Sans perte de généralité, on peut supposer que k est algébriquement
clos. Ceci permet de supposer que A = End k (V ) et que (σ, f ) est adjointe à une
forme quadratique non singulière q de dimension 2n [115, 5.11]. Il existe un unique
sous-espace vectoriel W de V tel que I = Hom k (V , W ) ⊂ A = End k (V ) et W
est de dimension n. Ainsi P ⊂ O + (A, σ, f ) est le stabilisateur de W . D’après
l’exemple 6.6 de loc. cit., W est un sous-espace totalement isotrope de V , i.e. q
s’annule sur W . Suivant [125, Prop. 12.13], P est bien un k-sous-groupe parabolique
de O + (q) = O + (A, σ, f ) si bien que O + (A, σ, f )/P est la variété des sous-espaces
totalement isotropes maximaux. Au vu de l’exemple 17.9.(2) de loc. cit., on a P =
R u (P ) GL(W ) donc P red est de type A n−1 . Cela impose le type de P .
On dit qu’un relèvement hermitien (h, f ) de (σ, f ) est hyperbolique si (σ, f ) est
hyperbolique.
Lemme 7.4.4 Soit (h, f ) un relèvement hermitien d’une paire quadratique. Alors
la somme orthogonale (h, f ) ⊥ (−h, −f ) est hyperbolique.
On observe que (−h, −f ) est un relèvement hermitien de (σ, f ).
Démonstration On pose B = End D (V ⊕ V ), τ = σ h⊥−h et (τ, F ) la paire
quadratique. Si x =
a b
c d
, on a τ (b) =
σ h (a) −σ h (c)
−σ h (b) σ h (d).
. On note
I = Hom D (V ⊕ V , V ) ⊂ B l’idéal défini par le plongement diagonal V V→ V ⊕ V ,
c’est-à-dire formé des éléments du type
a d
a d
. Pour deux tels éléments x, x , on
calcule
τ (x) x
=
σ (a) −σ (a)
−σ (d) σ (d)
a d
a d
= 0.
On a donc τ (I )I = 0. Il reste à vérifier la condition sur F . Un élément x ∈
Sym(B, τ ) ∩ I est de la forme x =
a −a
a −a
avec a symétrique pour σ . Alors
F (x) = f (a) + f (−a) = 0. Ainsi (τ, F ) est hyperbolique.
Le fait suivant généralise un résultat de Kneser [112, §2.6, Lemma 1].
Lemme 7.4.5 Soit (σ, f ) une paire quadratique comme ci-dessus. On considère les
suites exactes
1 → μ 2 → G = Spin(A, σ, f )
ρ
− → O
+ (A, σ, f ) → 1
et
1 → O
+ (A, σ, f ) → O(A, σ, f ) → Z/2Z → 1.
(1) On suppose que [A] = 0 ∈ Br(k). Alors on a O + (A, σ, f )(k) = O(A, σ, f )(k).
(2) Le composé
Z/2Z → H
1
k, O
+ (A, σ, f )
δ
− → H
2
fppf (k, μ 2 )
applique 1 sur [A].