7.4 Le cas de type D
109
f : Sym(A, σ h 1 ⊥h 2 ) → k telle que
(i) (σ h 1 ⊥h 2 , f ) est une paire quadratique sur A.
(ii) La restriction de f à Sym(A i , σ i ) est f i pour i = 1, 2.
On note e 1 ∈ A (resp. e 2 ) la projection sur le facteur V 1 parallèlement à V 2
(resp. et inversement). Alors f (x) = f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ).
Le relèvement (h, f ) construit dans la proposition est appelé la somme orthogonale de (h 1 , f 1 ) et (h 1 , f 2 ). On le note (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 2 , f 2 ). La paire quadratique
(σ h 1 ⊥h 2 , f ) est alors une somme orthogonale de (σ h 1 , f 1 ) et (σ h 2 , f 2 ) au sens
de [15, Prop. 1.5]. La preuve ci-dessous est d’ailleurs essentiellement celle de la
citation.
Démonstration On pose σ = σ h 1 ⊥h 2 et on montre d’abord que la formule donnée
est la seule possible. Si x ∈ Sym(A, σ ), alors x s’écrit
x = e 1 xe 1 + e 1 xe 2 + e 2 xe 1 + e 2 xe 2
Si f satisfait (i) et (ii), on a
f (x) = f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ) + f (e 1 xe 2 + e 2 xe 1 ).
Or f (e 1 xe 2 + e 2 xe 1 ) = f (e 1 xe 2 + σ (e 1 xe 2 )) = Trd A (e 1 xe 2 ) = 0, donc f (x) =
f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ). Il reste à voir que f définit bien une paire quadratique. Soit
x ∈ A que l’on décompose x = x 1 + x 2 + e 1 xe 2 + e 2 xe 1 . Vu que σ (e i ) = e i , on a
x + σ (x) = x 1 + σ (x 1 )e 1 + x 2 + σ (x 2 ) + e 1 (x + σ (x))e 2 + e 2 (x + σ (x))e 1 . On
calcule
f
x + σ (x)
= f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 )
= Trd A 1 (x 1 ) + Trd A 2 (x 2 )
= Trd A (x).
On conclut que (σ, f ) est une paire quadratique.
On dit que la paire quadratique (σ, f ) est isotrope si A admet un idéal à droite
0 = I satisfaisant σ (I )I = 0 et f
I ∩Sym(A, σ )
= 0 (ibid, 6.12). S’il existe un tel
I satisfaisant dim k (I ) =
1
2 dim k (A), on dit que (σ, f ) est hyperbolique. On sait que
deux paires quadratiques hyperboliques sur A sont conjuguées (ibid, 10.35). Cette
notion est liée à l’isotropie des groupes algébriques de la façon suivante.
Lemme 7.4.3 Soit I un idéal à droite comme ci-dessus. On considère le k-sousgroupe algébrique P de O + (A, σ, f ) ⊂ GL 1 (A) qui stabilise I . Alors P est un
k-sous-groupe parabolique de O + (A, σ, f ) de type
. . .
α 1 α 2
α n−1
α n
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f : Sym(A, σ h 1 ⊥h 2 ) → k telle que
(i) (σ h 1 ⊥h 2 , f ) est une paire quadratique sur A.
(ii) La restriction de f à Sym(A i , σ i ) est f i pour i = 1, 2.
On note e 1 ∈ A (resp. e 2 ) la projection sur le facteur V 1 parallèlement à V 2
(resp. et inversement). Alors f (x) = f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ).
Le relèvement (h, f ) construit dans la proposition est appelé la somme orthogonale de (h 1 , f 1 ) et (h 1 , f 2 ). On le note (h 1 , f 1 ) ⊥ (h 2 , f 2 ). La paire quadratique
(σ h 1 ⊥h 2 , f ) est alors une somme orthogonale de (σ h 1 , f 1 ) et (σ h 2 , f 2 ) au sens
de [15, Prop. 1.5]. La preuve ci-dessous est d’ailleurs essentiellement celle de la
citation.
Démonstration On pose σ = σ h 1 ⊥h 2 et on montre d’abord que la formule donnée
est la seule possible. Si x ∈ Sym(A, σ ), alors x s’écrit
x = e 1 xe 1 + e 1 xe 2 + e 2 xe 1 + e 2 xe 2
Si f satisfait (i) et (ii), on a
f (x) = f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ) + f (e 1 xe 2 + e 2 xe 1 ).
Or f (e 1 xe 2 + e 2 xe 1 ) = f (e 1 xe 2 + σ (e 1 xe 2 )) = Trd A (e 1 xe 2 ) = 0, donc f (x) =
f 1 (e 1 xe 1 ) + f 2 (e 2 xe 2 ). Il reste à voir que f définit bien une paire quadratique. Soit
x ∈ A que l’on décompose x = x 1 + x 2 + e 1 xe 2 + e 2 xe 1 . Vu que σ (e i ) = e i , on a
x + σ (x) = x 1 + σ (x 1 )e 1 + x 2 + σ (x 2 ) + e 1 (x + σ (x))e 2 + e 2 (x + σ (x))e 1 . On
calcule
f
x + σ (x)
= f 1 (x 1 ) + f 2 (x 2 )
= Trd A 1 (x 1 ) + Trd A 2 (x 2 )
= Trd A (x).
On conclut que (σ, f ) est une paire quadratique.
On dit que la paire quadratique (σ, f ) est isotrope si A admet un idéal à droite
0 = I satisfaisant σ (I )I = 0 et f
I ∩Sym(A, σ )
= 0 (ibid, 6.12). S’il existe un tel
I satisfaisant dim k (I ) =
1
2 dim k (A), on dit que (σ, f ) est hyperbolique. On sait que
deux paires quadratiques hyperboliques sur A sont conjuguées (ibid, 10.35). Cette
notion est liée à l’isotropie des groupes algébriques de la façon suivante.
Lemme 7.4.3 Soit I un idéal à droite comme ci-dessus. On considère le k-sousgroupe algébrique P de O + (A, σ, f ) ⊂ GL 1 (A) qui stabilise I . Alors P est un
k-sous-groupe parabolique de O + (A, σ, f ) de type
. . .
α 1 α 2
α n−1
α n