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7 Groupes classiques
précise, σ désigne une involution de première espèce sur A et f : Sym(A, σ ) → k
une forme linéaire sujette aux conditions suivantes:
(1) dim k
Sym(A, σ )
= n(2n + 1);
(2) f (x + σ (x)) = Trd A (x) for all x ∈ A.
L’involution est orthogonale (resp. symplectique) si k est de caractéristique = 2
(resp. de caractéristique 2). D’autres groupes algébriques lisses sont associés au
triplet (A, σ, f ) (ibid, §23.B), à savoir GO(A, σ, f ) (resp. O(A, σ, f )) appelé le
groupe des similitudes orthogonales de (A, σ, f ) (resp. le groupe orthogonal de
(A, σ, f )) et leurs avatars PGO(A, σ, f ), O + (A, σ, f ) et PGO
+ (A, σ, f ).
On écrit A = End D (V ) où D est une k-algèbre à division centrale et V un
D-module à droite. On fixe une involution θ sur D de première espèce qui est
orthogonale (resp. symplectique) si k est de caractéristique = 2 (resp. 2). Etant
donné une paire quadratique (σ, f ) sur (A, σ ), un relèvement hermitien est une
forme hermitienne h sur V telle que σ = σ h , c’est-à-dire adjointe à h. Un
tel relèvement existe et es t unique à scalaire près [115, Th. 4.2]; si k est de
caractéristique 2, un tel h est alterné, i.e. x → h(x, x) est à valeurs dans Alt(D, σ ).
On dit alors que (h, f ) est un relèvement hermitien de (σ, f ) et ce sont ces objets
que l’on va considérer. Le groupe unitaire U(h, f ) est le sous k-groupe algébrique
du groupe unitaire U(h) ⊂ GL 1 (A) qui préserve f . Etant donné une k-algèbre R,
on a
U(h, f )(R) =
g ∈ U(h)(R) | f (gxg
−1 ) = f (x) ∀ x ∈ Sym(A, σ ) ⊗ k R
.
Une première observation est que U(h, f ) = O(A, σ, f ).
Exemple 7.4.1 On suppose que D = k. Soit V un k-espace vectoriel de dimension
2n. Dans ce cas un relèvement hermitien (h, f ) de (σ, f ) est la donnée d’une
forme quadratique non singulière q sur V [115, 5.11]. En effet, si on considère
une telle forme q sur V , la forme bilinéaire b q associée est une forme hermitienne
et l’expression de la forme f q est plus compliquée. Soit ϕ q : V ⊗ k V
∼
−→ End k (V )
l’isomorphisme défini par ϕ q (v 1 ⊗ v 2 ).x = v 1 b q (v 2 , x), et f = f q est caractérisée
par la formule
q(v) = f q (ϕ q (v, v))
pour tout v ∈ V . Dans ce cas, on a O(q) = O(A, σ, f ).
L’exemple précédent permet la construction de sommes orthogonales, nous
allons voir que ceci s’étend plus généralement.
Proposition 7.4.2 Soient A 1 = End D (V 1 ), A 2 = End D (V 2 ) de degrés respectifs
2n 1 et 2n 2 . Soit (h i , f i ) un relèvement hermitien d’une paire quadratique (σ i , f i )
pour i = 1, 2. On considère la forme hermitienne h = h 1 ⊥ h 2 sur V =
V 1 ⊕ V 2 et on pose A = End D (V ). Alors il existe une unique forme linéaire
7 Groupes classiques
précise, σ désigne une involution de première espèce sur A et f : Sym(A, σ ) → k
une forme linéaire sujette aux conditions suivantes:
(1) dim k
Sym(A, σ )
= n(2n + 1);
(2) f (x + σ (x)) = Trd A (x) for all x ∈ A.
L’involution est orthogonale (resp. symplectique) si k est de caractéristique = 2
(resp. de caractéristique 2). D’autres groupes algébriques lisses sont associés au
triplet (A, σ, f ) (ibid, §23.B), à savoir GO(A, σ, f ) (resp. O(A, σ, f )) appelé le
groupe des similitudes orthogonales de (A, σ, f ) (resp. le groupe orthogonal de
(A, σ, f )) et leurs avatars PGO(A, σ, f ), O + (A, σ, f ) et PGO
+ (A, σ, f ).
On écrit A = End D (V ) où D est une k-algèbre à division centrale et V un
D-module à droite. On fixe une involution θ sur D de première espèce qui est
orthogonale (resp. symplectique) si k est de caractéristique = 2 (resp. 2). Etant
donné une paire quadratique (σ, f ) sur (A, σ ), un relèvement hermitien est une
forme hermitienne h sur V telle que σ = σ h , c’est-à-dire adjointe à h. Un
tel relèvement existe et es t unique à scalaire près [115, Th. 4.2]; si k est de
caractéristique 2, un tel h est alterné, i.e. x → h(x, x) est à valeurs dans Alt(D, σ ).
On dit alors que (h, f ) est un relèvement hermitien de (σ, f ) et ce sont ces objets
que l’on va considérer. Le groupe unitaire U(h, f ) est le sous k-groupe algébrique
du groupe unitaire U(h) ⊂ GL 1 (A) qui préserve f . Etant donné une k-algèbre R,
on a
U(h, f )(R) =
g ∈ U(h)(R) | f (gxg
−1 ) = f (x) ∀ x ∈ Sym(A, σ ) ⊗ k R
.
Une première observation est que U(h, f ) = O(A, σ, f ).
Exemple 7.4.1 On suppose que D = k. Soit V un k-espace vectoriel de dimension
2n. Dans ce cas un relèvement hermitien (h, f ) de (σ, f ) est la donnée d’une
forme quadratique non singulière q sur V [115, 5.11]. En effet, si on considère
une telle forme q sur V , la forme bilinéaire b q associée est une forme hermitienne
et l’expression de la forme f q est plus compliquée. Soit ϕ q : V ⊗ k V
∼
−→ End k (V )
l’isomorphisme défini par ϕ q (v 1 ⊗ v 2 ).x = v 1 b q (v 2 , x), et f = f q est caractérisée
par la formule
q(v) = f q (ϕ q (v, v))
pour tout v ∈ V . Dans ce cas, on a O(q) = O(A, σ, f ).
L’exemple précédent permet la construction de sommes orthogonales, nous
allons voir que ceci s’étend plus généralement.
Proposition 7.4.2 Soient A 1 = End D (V 1 ), A 2 = End D (V 2 ) de degrés respectifs
2n 1 et 2n 2 . Soit (h i , f i ) un relèvement hermitien d’une paire quadratique (σ i , f i )
pour i = 1, 2. On considère la forme hermitienne h = h 1 ⊥ h 2 sur V =
V 1 ⊕ V 2 et on pose A = End D (V ). Alors il existe une unique forme linéaire