7.4 Le cas de type D
107
[z] ∈ H 1 (L/k, T ) [159, III.2.4, ex. 2]. La structure d’un tel k-tore est bien
connue [121, §3.4.3], on a T ∼ = ker
R L/k (R 1
K⊗ k L/L (G m )) → R 1
K/k (G m )
∼ =
coker
R 1
K/k (G m ) → R L/k (R 1
K⊗ k L/L (G m ))
où K/k est une k-algèbre étale.
Comme T = z T est un k-sous-groupe de SU(h ) = z SU(h) qui est anisotrope, il
suit que T est anisotrope. En particulier K est un corps. Comme T contient S =
R 1
L/k (G m ), il suit que T L ∼ = R 1
K⊗ k L/L (G m ) est isotrope, donc K ⊗ k L n’est pas
un corps, d’où K ⊗ k L ∼ = K × K. Le Lemme 1.6.6 indique que T admet un sousgroupe μ 2 de sorte que H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1 (k, T ) est surjectif (Lemme 1.6.6). Il
suit que γ 1 appartient à l’image de l’application H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1
fppf (k, G). Or
cette application est nulle en vertu de la Proposition 5.5.1. Ainsi γ 1 est triviale,
et γ ∈ H 1 (k, U(h)) aussi ce qui permet de conclure que h est isométrique à h.
Cas général. Si dim D (V ) > 1, on est dans le premier cas. Il reste donc à traiter le cas
où h et h sont de rang 1. Supposons que H := h ⊥ −h est anisotrope. Cette
forme a même discriminant que la forme isotrope H = h ⊥ −h. Le premier
cas appliqué à H et H montre que H et H sont isométriques, ce qui contredit
l’hypothèse. Ainsi h ⊥ −h est isotrope donc est hyperbolique. On conclut que
h et h sont isométriques.
Théorème 7.3.2 Soit n ≥ 3 un entier. On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout
diviseur premier l de 2n. Soit L/k une extension quadratique séparable de corps.
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe de type quasi-déployé 2 A n−1
relativement à L/k. Alors H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On sait que G = SU(V , h) pour (V , h) une forme hermitienne
régulière relative à une L-algèbre à division D munie d’une involution σ de
seconde espèce. Une conséquence immédiate du théorème précédent est le fait
que l’application H 1 (k, U(h)) → H 1 (k, R 1
L/k (G m )) = k × /N L/k (L × ) a un noyau
trivial. Il suit que l’on a une suite exacte d’ensembles pointés
U(h)(k) → R
1
L/k (G m )(k) → H
1 (k, SU(h)) → 1.
Comme le tore R 1
L/k (G m ) est déployé par l’extension quadratique L/k, le Corollaire 5.4.4 indique que U(h)(k) → R 1
L/k (G m )(k) est surjective. On conclut que
H 1 (k, SU(h)) = 1.
7.4 Le cas de type D
7.4.1 Paires quadratiques et leurs relèvements hermitiens
Un k-groupe G semi-simple simplement connexe de type D n (n ≥ 2, non trialitaire)
est isomorphe à un k-groupe Spin(A, σ, f ) relatif à une k-algèbre simple centrale
A de degré 2n munie d’une paire quadratique (σ, f ) [115, 26.15]. De façon plus
107
[z] ∈ H 1 (L/k, T ) [159, III.2.4, ex. 2]. La structure d’un tel k-tore est bien
connue [121, §3.4.3], on a T ∼ = ker
R L/k (R 1
K⊗ k L/L (G m )) → R 1
K/k (G m )
∼ =
coker
R 1
K/k (G m ) → R L/k (R 1
K⊗ k L/L (G m ))
où K/k est une k-algèbre étale.
Comme T = z T est un k-sous-groupe de SU(h ) = z SU(h) qui est anisotrope, il
suit que T est anisotrope. En particulier K est un corps. Comme T contient S =
R 1
L/k (G m ), il suit que T L ∼ = R 1
K⊗ k L/L (G m ) est isotrope, donc K ⊗ k L n’est pas
un corps, d’où K ⊗ k L ∼ = K × K. Le Lemme 1.6.6 indique que T admet un sousgroupe μ 2 de sorte que H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1 (k, T ) est surjectif (Lemme 1.6.6). Il
suit que γ 1 appartient à l’image de l’application H 1
fppf (k, μ 2 ) → H 1
fppf (k, G). Or
cette application est nulle en vertu de la Proposition 5.5.1. Ainsi γ 1 est triviale,
et γ ∈ H 1 (k, U(h)) aussi ce qui permet de conclure que h est isométrique à h.
Cas général. Si dim D (V ) > 1, on est dans le premier cas. Il reste donc à traiter le cas
où h et h sont de rang 1. Supposons que H := h ⊥ −h est anisotrope. Cette
forme a même discriminant que la forme isotrope H = h ⊥ −h. Le premier
cas appliqué à H et H montre que H et H sont isométriques, ce qui contredit
l’hypothèse. Ainsi h ⊥ −h est isotrope donc est hyperbolique. On conclut que
h et h sont isométriques.
Théorème 7.3.2 Soit n ≥ 3 un entier. On suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout
diviseur premier l de 2n. Soit L/k une extension quadratique séparable de corps.
Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe de type quasi-déployé 2 A n−1
relativement à L/k. Alors H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On sait que G = SU(V , h) pour (V , h) une forme hermitienne
régulière relative à une L-algèbre à division D munie d’une involution σ de
seconde espèce. Une conséquence immédiate du théorème précédent est le fait
que l’application H 1 (k, U(h)) → H 1 (k, R 1
L/k (G m )) = k × /N L/k (L × ) a un noyau
trivial. Il suit que l’on a une suite exacte d’ensembles pointés
U(h)(k) → R
1
L/k (G m )(k) → H
1 (k, SU(h)) → 1.
Comme le tore R 1
L/k (G m ) est déployé par l’extension quadratique L/k, le Corollaire 5.4.4 indique que U(h)(k) → R 1
L/k (G m )(k) est surjective. On conclut que
H 1 (k, SU(h)) = 1.
7.4 Le cas de type D
7.4.1 Paires quadratiques et leurs relèvements hermitiens
Un k-groupe G semi-simple simplement connexe de type D n (n ≥ 2, non trialitaire)
est isomorphe à un k-groupe Spin(A, σ, f ) relatif à une k-algèbre simple centrale
A de degré 2n munie d’une paire quadratique (σ, f ) [115, 26.15]. De façon plus