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7 Groupes classiques
(resp. H 2 ) est semi-simple simplement connexe de type A n/2−1 (resp. C n ). Le
point est que H 3 = DC G (H 2 ) est simplement connexe de type C n/2 de sorte que
M ⊂ H 2 × H 3 ⊂ G. Ainsi l’application H 1 (k, M) → H 1 (k, G) factorise par
H 1 (k, H 2 ) × H 1 (k, H 3 ) qui est nul par récurrence sur le rang. Ceci montre que
H 1 (k, G) = 1.
7.3 Le cas unitaire (type 2 A n−1 )
Théorème 7.3.1 Soit L une extension quadratique séparable de corps et D une Lalgèbre simple centrale à division munie d’une involution σ de seconde espèce. On
suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout premier l divisant 2 deg L (D). Soient (V , h)
et (V , h ) des formes hermitiennes régulières relativement à (D, σ ). Alors les
assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (V , h) et (V , h ) sont isométriques;
(ii) dim D (V ) = dim D (V ) et (V , h) et (V , h ) ont même discriminant dans
k × /N L/k (L × ).
Démonstration L’implication (i) ⇒ (ii) est triviale. Réciproquement, on suppose
(ii). On rappelle que le théorème de simplification (et de décomposition) de Witt
vaut dans ce cadre [155, 9.2] si bien que l’on peut supposer l’une des formes, disons
h , anisotrope.
Premier cas : r = dim D (V ) ≥ 2. On considère le k-groupe unitaire U(h), il s’insère
dans la suite exacte de k-groupes
1 → SU(h) → U(h) → R
1
L/k (G m ) → 1.
Le yoga des formes montre que l’ensemble H 1 (k, U(h)) classifie les formes
hermitiennes régulières de dimension dim D (V ) relatives à (D, σ ). En particulier
(V , h) définit une classe γ ∈ H 1 (k, U (h)). Son image par H 1 (k, U(h)) →
H 1
k, R 1
L/k (G m )
= k × /N L/k (L × ) est le discriminant relatif disc h (h ) =
disc(h ) disc(h) −1 [11, §2.1]. Notre hypothèse montre donc que γ provient d’une
classe γ 1 ∈ H 1 (k, SU(h)). Le L-groupe SU(h) L est semi-simple simplement
connexe de type intérieur A et on a donc H 1 (L, SU(h)) = 1 (Th. 4.8.4). Par
suite, on a ξ ∈ H 1 (L/k, SU(h)). Notre hypothèse sur le rang montre que
SU(h) L ∼ = SL 1 (D) est isotrope, G = SU(h) admet un sous k-tore S =
R 1
L/k (G m ) ⊂ G de sorte que l’application
H
1 (L/k, C G (S)) → H
1 (L/k, G)
est surjective. Ainsi γ 1 provient d’une classe γ 2 ∈ H 1 (L/k, C G (S)). Ainsi il
existe un k-tore T ⊂ C G (S) ⊂ G tel que γ 2 provient d’une classe γ 3 =
7 Groupes classiques
(resp. H 2 ) est semi-simple simplement connexe de type A n/2−1 (resp. C n ). Le
point est que H 3 = DC G (H 2 ) est simplement connexe de type C n/2 de sorte que
M ⊂ H 2 × H 3 ⊂ G. Ainsi l’application H 1 (k, M) → H 1 (k, G) factorise par
H 1 (k, H 2 ) × H 1 (k, H 3 ) qui est nul par récurrence sur le rang. Ceci montre que
H 1 (k, G) = 1.
7.3 Le cas unitaire (type 2 A n−1 )
Théorème 7.3.1 Soit L une extension quadratique séparable de corps et D une Lalgèbre simple centrale à division munie d’une involution σ de seconde espèce. On
suppose que scd l (k) ≤ 2 pour tout premier l divisant 2 deg L (D). Soient (V , h)
et (V , h ) des formes hermitiennes régulières relativement à (D, σ ). Alors les
assertions suivantes sont équivalentes:
(i) (V , h) et (V , h ) sont isométriques;
(ii) dim D (V ) = dim D (V ) et (V , h) et (V , h ) ont même discriminant dans
k × /N L/k (L × ).
Démonstration L’implication (i) ⇒ (ii) est triviale. Réciproquement, on suppose
(ii). On rappelle que le théorème de simplification (et de décomposition) de Witt
vaut dans ce cadre [155, 9.2] si bien que l’on peut supposer l’une des formes, disons
h , anisotrope.
Premier cas : r = dim D (V ) ≥ 2. On considère le k-groupe unitaire U(h), il s’insère
dans la suite exacte de k-groupes
1 → SU(h) → U(h) → R
1
L/k (G m ) → 1.
Le yoga des formes montre que l’ensemble H 1 (k, U(h)) classifie les formes
hermitiennes régulières de dimension dim D (V ) relatives à (D, σ ). En particulier
(V , h) définit une classe γ ∈ H 1 (k, U (h)). Son image par H 1 (k, U(h)) →
H 1
k, R 1
L/k (G m )
= k × /N L/k (L × ) est le discriminant relatif disc h (h ) =
disc(h ) disc(h) −1 [11, §2.1]. Notre hypothèse montre donc que γ provient d’une
classe γ 1 ∈ H 1 (k, SU(h)). Le L-groupe SU(h) L est semi-simple simplement
connexe de type intérieur A et on a donc H 1 (L, SU(h)) = 1 (Th. 4.8.4). Par
suite, on a ξ ∈ H 1 (L/k, SU(h)). Notre hypothèse sur le rang montre que
SU(h) L ∼ = SL 1 (D) est isotrope, G = SU(h) admet un sous k-tore S =
R 1
L/k (G m ) ⊂ G de sorte que l’application
H
1 (L/k, C G (S)) → H
1 (L/k, G)
est surjective. Ainsi γ 1 provient d’une classe γ 2 ∈ H 1 (L/k, C G (S)). Ainsi il
existe un k-tore T ⊂ C G (S) ⊂ G tel que γ 2 provient d’une classe γ 3 =