7.2 Le cas symplectique
105
Démonstration
(1) On considère le k-groupe G = SU(V , h), c’est un k-groupe de type C n où
n =
d dim D (V )
2
. On a une suite exacte 1 → SU(V , h) → U(V , h) → G m → 1.
Comme H 1 (k, G) = 1 et H 1 (k, G m ) = 1, on obtient que H 1 (k, U(V , h)) = 1.
Or l’ensemble H 1 (k, U(V , h)) classifie les formes anti-hermitiennes alternées
sur V , d’où le Corollaire.
(2) Le cas (i) suit de façon évidente de (1). Pour (ii), on utilise la décomposition de
Witt h = h an ⊥ H(D, θ ) w . La forme h an se diagonalise en h 1 ⊥ · · · ⊥ h s où
les formes h i sont de rang relatif 1. Les formes h i , ±h i sont isométriques deux
à deux. L’anisotropie de h an implique donc que h an est de rang relatif 1. Par
suite le k-rang de SU(V , h) est bien m.
On procède à la démonstration du Théorème 7.2.1.
Démonstration On va montrer (1) et (2) par récurrence sur n ≥ 2 en tenant compte
du Corollaire 7.2.2 en dimension inférieure. On commence par le cas n = 2. Alors
G = Spin(q) pour une forme quadratique q de dimension 5 et on a H 1 (k, G) = 1
d’après le Théorème 7.1.12. On suppose donc n ≥ 3 et le Théorème 6.0.1 permet
de supposer G non déployé. Il existe donc une k-algèbre simple centrale D d’indice
d > 1 munie d’une involution orthogonale de première espèce θ de sorte que G =
SU(V , h) pour une forme anti-hermitienne non dégénérée alternée (V , h). On note
m = dim D (V ) et on a 2n = dm.
Premier cas: m ≥ 2. On utilise la décomposition de Witt h = h an ⊥ H(D, θ ) w
et que la forme h an se diagonalise en h 1 ⊥ · · · ⊥ h s où les formes h i sont
de rang relatif 1. D’après l’interprétation du Corollaire 7.2.2, les h i , ±h i sont
isométriques deux à deux, et il suit que chaque forme anti-hermitienne alternée
(V , h ) est isométrique à h. En d’autres mots, on a H 1 (k, U(V , h)) = 1. La suite
suite exacte 1 → SU(V , h) → U(V , h) → G m → 1 donne lieu à la suite exacte
de cohomologie
U(V , h)(k) → k
×
→ H
1 (k, G) → H
1 (k, U(V , h)) = 1.
En vertu du Corollaire 5.4.4, le morphisme U(V , h)(k) → k × est surjectif ce qui
permet de conclure que H 1 (k, G) = 1.
Second cas: m = 1. Alors d = 2n et SL 1 (D) est donc un k-groupe anisotrope.
Comme G se plonge dans SL 1 (D) par la représentation standard, il suit que G
est anisotrope. Utilisant une nouvelle fois la décomposition de D en un produit
tensoriel d’algèbres de quaternions, il existe une extension quadratique L/k telle
que A L n’est pas à division. De façon plus précise, on a ind L (D) = n. D’après
le premier cas, on a H 1 (L, G) = 1, d’où H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). De plus,
G L est de rang relatif n − 1, il admet donc un sous-groupe parabolique P de
type C n \ {n}. Le Lemme 3.2.8 montre que G admet un sous-groupe M tel que
M L est un sous-groupe de Levi de P et tel que l’application H 1 (L/k, M) →
H 1 (L/k, G) est surjective. Le k-groupe DM se décompose en H 1 × H 2 où H 1
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Démonstration
(1) On considère le k-groupe G = SU(V , h), c’est un k-groupe de type C n où
n =
d dim D (V )
2
. On a une suite exacte 1 → SU(V , h) → U(V , h) → G m → 1.
Comme H 1 (k, G) = 1 et H 1 (k, G m ) = 1, on obtient que H 1 (k, U(V , h)) = 1.
Or l’ensemble H 1 (k, U(V , h)) classifie les formes anti-hermitiennes alternées
sur V , d’où le Corollaire.
(2) Le cas (i) suit de façon évidente de (1). Pour (ii), on utilise la décomposition de
Witt h = h an ⊥ H(D, θ ) w . La forme h an se diagonalise en h 1 ⊥ · · · ⊥ h s où
les formes h i sont de rang relatif 1. Les formes h i , ±h i sont isométriques deux
à deux. L’anisotropie de h an implique donc que h an est de rang relatif 1. Par
suite le k-rang de SU(V , h) est bien m.
On procède à la démonstration du Théorème 7.2.1.
Démonstration On va montrer (1) et (2) par récurrence sur n ≥ 2 en tenant compte
du Corollaire 7.2.2 en dimension inférieure. On commence par le cas n = 2. Alors
G = Spin(q) pour une forme quadratique q de dimension 5 et on a H 1 (k, G) = 1
d’après le Théorème 7.1.12. On suppose donc n ≥ 3 et le Théorème 6.0.1 permet
de supposer G non déployé. Il existe donc une k-algèbre simple centrale D d’indice
d > 1 munie d’une involution orthogonale de première espèce θ de sorte que G =
SU(V , h) pour une forme anti-hermitienne non dégénérée alternée (V , h). On note
m = dim D (V ) et on a 2n = dm.
Premier cas: m ≥ 2. On utilise la décomposition de Witt h = h an ⊥ H(D, θ ) w
et que la forme h an se diagonalise en h 1 ⊥ · · · ⊥ h s où les formes h i sont
de rang relatif 1. D’après l’interprétation du Corollaire 7.2.2, les h i , ±h i sont
isométriques deux à deux, et il suit que chaque forme anti-hermitienne alternée
(V , h ) est isométrique à h. En d’autres mots, on a H 1 (k, U(V , h)) = 1. La suite
suite exacte 1 → SU(V , h) → U(V , h) → G m → 1 donne lieu à la suite exacte
de cohomologie
U(V , h)(k) → k
×
→ H
1 (k, G) → H
1 (k, U(V , h)) = 1.
En vertu du Corollaire 5.4.4, le morphisme U(V , h)(k) → k × est surjectif ce qui
permet de conclure que H 1 (k, G) = 1.
Second cas: m = 1. Alors d = 2n et SL 1 (D) est donc un k-groupe anisotrope.
Comme G se plonge dans SL 1 (D) par la représentation standard, il suit que G
est anisotrope. Utilisant une nouvelle fois la décomposition de D en un produit
tensoriel d’algèbres de quaternions, il existe une extension quadratique L/k telle
que A L n’est pas à division. De façon plus précise, on a ind L (D) = n. D’après
le premier cas, on a H 1 (L, G) = 1, d’où H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). De plus,
G L est de rang relatif n − 1, il admet donc un sous-groupe parabolique P de
type C n \ {n}. Le Lemme 3.2.8 montre que G admet un sous-groupe M tel que
M L est un sous-groupe de Levi de P et tel que l’application H 1 (L/k, M) →
H 1 (L/k, G) est surjective. Le k-groupe DM se décompose en H 1 × H 2 où H 1