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7 Groupes classiques
On revient au cas général. Ainsi [z] appartient au noyau de H 1 (k, Spin(q)) →
H 1 (k, SO(q)). La Proposition 5.4.1 montre que l’application H 1 (k, Spin(q)) →
H 1 (k, SO(q)) a un noyau trivial ce qui permet de conclure que [z] = 1.
Ceci montre donc la conjecture II pour les groupes de type B n . Noter que l’on
a commencé en n = 2 alors que le cas B 2 = C 2 est par convention rangé dans les
groupes symplectiques.
7.2 Le cas symplectique
Les groupes de type C non déployés sont des groupes associés à des formes antihermitiennes alternées (« paire » est une autre terminologie pour alternée). De façon
plus précise, soit D une k-algèbre à division centrale de degré d > 1 munie d’une
involution θ de première espèce, orthogonale, et V un D-espace vectoriel (à droite)
de dimension finie. On note Alt(D, θ ) =
d − θ(d) | d ∈ D
.
Soit h : V × V → D une forme anti-hermitienne alternée et non dégénérée
[115, §4]. Cela signifie que v → h(v, v) est à valeurs dans Alt(D, θ ), que
h(v 1 d 1 , v 2 d 2 ) = θ(d 1 )h(v 1 , v 2 )d 2 , h(v 1 , v 2 ) = −θ(h(v 2 , v 1 )) pour tous v 1 , v 2 ∈
V , d 1 , d 2 ∈ D et que le k-morphisme V → Hom D (V , D), v → h(v, ) est bijectif.
Le k-groupe SU(h, V ) est de type C n où n =
d dim D (V )
2
et tous les groupes de
type C non déployés apparaissent de cette façon. En outre la classe de Tits d’un
tel k-groupe est [D] ∈ H 2
fppf (k, μ 2 ). La forme hyperbolique hyp : D 2 × D 2 →
D, ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) → θ(x 1 )y 2 − θ(x 2 )y 1 est le premier exemple important noté
H(D, θ ) de forme anti-hermitienne alternée et non dégénérée. On sait qu’une forme
anti-hermitienne alternée et non dégénérée (h, V ) se décompose de façon unique en
h an ⊥ H(D, θ ) m où h an est une forme anisotrope [113, prop. 6.3.2]; de plus h an
est diagonalisable, c’est-à-dire somme orthogonale de formes de rang relatif 1 (ibid,
lemma 6.2.1).
Théorème 7.2.1 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe de type C n (n ≥ 2). On a H 1 (k, G) = 1.
Ce résultat a une conséquence sur la classification des formes anti-hermitiennes.
Corollaire 7.2.2 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit D une k-algèbre simple
centrale à division de degré d > 1 munie d’une involution θ de première espèce
et orthogonale.
(1) Deux formes anti-hermitiennes alternées h, h sur un D-espace vectoriel V (à
droite) sont isométriques.
(2) Soit h une forme anti-hermitienne alternée h sur V .
(i) Si dim D (V ) = 2m, alors h est hyperbolique et SU(V , h) est de k-rang m.
(ii) Si dim D (V ) = 2m + 1, alors l’indice de Witt de h est m et SU(V , h) est de
k-rang m.
On commence par établir le Corollaire.
7 Groupes classiques
On revient au cas général. Ainsi [z] appartient au noyau de H 1 (k, Spin(q)) →
H 1 (k, SO(q)). La Proposition 5.4.1 montre que l’application H 1 (k, Spin(q)) →
H 1 (k, SO(q)) a un noyau trivial ce qui permet de conclure que [z] = 1.
Ceci montre donc la conjecture II pour les groupes de type B n . Noter que l’on
a commencé en n = 2 alors que le cas B 2 = C 2 est par convention rangé dans les
groupes symplectiques.
7.2 Le cas symplectique
Les groupes de type C non déployés sont des groupes associés à des formes antihermitiennes alternées (« paire » est une autre terminologie pour alternée). De façon
plus précise, soit D une k-algèbre à division centrale de degré d > 1 munie d’une
involution θ de première espèce, orthogonale, et V un D-espace vectoriel (à droite)
de dimension finie. On note Alt(D, θ ) =
d − θ(d) | d ∈ D
.
Soit h : V × V → D une forme anti-hermitienne alternée et non dégénérée
[115, §4]. Cela signifie que v → h(v, v) est à valeurs dans Alt(D, θ ), que
h(v 1 d 1 , v 2 d 2 ) = θ(d 1 )h(v 1 , v 2 )d 2 , h(v 1 , v 2 ) = −θ(h(v 2 , v 1 )) pour tous v 1 , v 2 ∈
V , d 1 , d 2 ∈ D et que le k-morphisme V → Hom D (V , D), v → h(v, ) est bijectif.
Le k-groupe SU(h, V ) est de type C n où n =
d dim D (V )
2
et tous les groupes de
type C non déployés apparaissent de cette façon. En outre la classe de Tits d’un
tel k-groupe est [D] ∈ H 2
fppf (k, μ 2 ). La forme hyperbolique hyp : D 2 × D 2 →
D, ((x 1 , x 2 ), (y 1 , y 2 )) → θ(x 1 )y 2 − θ(x 2 )y 1 est le premier exemple important noté
H(D, θ ) de forme anti-hermitienne alternée et non dégénérée. On sait qu’une forme
anti-hermitienne alternée et non dégénérée (h, V ) se décompose de façon unique en
h an ⊥ H(D, θ ) m où h an est une forme anisotrope [113, prop. 6.3.2]; de plus h an
est diagonalisable, c’est-à-dire somme orthogonale de formes de rang relatif 1 (ibid,
lemma 6.2.1).
Théorème 7.2.1 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit G un groupe semi-simple
simplement connexe de type C n (n ≥ 2). On a H 1 (k, G) = 1.
Ce résultat a une conséquence sur la classification des formes anti-hermitiennes.
Corollaire 7.2.2 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit D une k-algèbre simple
centrale à division de degré d > 1 munie d’une involution θ de première espèce
et orthogonale.
(1) Deux formes anti-hermitiennes alternées h, h sur un D-espace vectoriel V (à
droite) sont isométriques.
(2) Soit h une forme anti-hermitienne alternée h sur V .
(i) Si dim D (V ) = 2m, alors h est hyperbolique et SU(V , h) est de k-rang m.
(ii) Si dim D (V ) = 2m + 1, alors l’indice de Witt de h est m et SU(V , h) est de
k-rang m.
On commence par établir le Corollaire.