7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
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Second cas: k est de caractéristique 2. La forme binaire [δ, δ + 1] est isotrope
donc hyperbolique, et est choisie pour représenter δ. On écrit φ ⊥ H ∼ = φ ⊥
[δ, δ + 1] = ψ δ ⊥ ⊥δ et ψ δ fait l’affaire.
(3) Il suffit de traiter le cas anisotrope de rang 2n + 1 ≥ 3. D’après (2), on sait que
φ = ψ δ pour une k-forme quadratique ψ de dimension 2n+2 et de discriminant
trivial satisfaisant ψ ⊥ ⊥δ ∼ = φ ⊥ H. Nous affirmons que ψ est anisotrope et
raisonnons par l’absurde en supposant ψ isotrope. Si n = 1, alors ψ ∼ = H 2 et
ψ ⊥ ⊥δ ∼ = H 2 ⊥ ⊥δ = φ ⊥ H. Le théorème de simplification de Witt [63, Th.
8.4] implique que φ est isotrope, ce qui est une contradiction. Si n ≥ 2, on a
ψ = ψ 0 ⊥ H avec ψ 0 de dimension 2n ≥ 4, donc ψ ⊥ ⊥δ ∼ =
ψ 0 ⊥ ⊥δ
⊥ H.
Par suite, on a φ ∼ = ψ 0 ⊥ ⊥δ et cette forme est isotrope ce qui contredit (1). Ainsi
ψ est bien anisotrope. Le Théorème 7.1.5.(1) indique que ind k (E(ψ)) = 2 n . La
formule du (1) permet de conclure que ind k (C 0 (φ)) = 2 n .
7.1.6 Le cas de type B et des groupes de spineurs
Nous reprenons ici les références [11, §2.1] et [15, §2.2] en caractéristique libre.
Théorème 7.1.12 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit q une forme quadratique non
dégénérée de dimension N ≥ 3. Alors H 1 (k, Spin(q)) = 1.
Démonstration On considère la suite exacte de k-groupes 1 → μ 2 → Spin(q) →
SO(q) → 1. Elle donne lieu à une suite exacte d’ensembles pointés
k
× /k
×2 ∼ = H
1
fppf (k, μ 2 )
ϕ
− → H
1 (k, Spin(q)) → H
1 (k, SO(q)).
On rappelle que l’ensemble H 1 (k, SO(q)) classifie les formes quadratiques non
dégénérées de dimension N et de même discriminant que q. Soit [z] une classe
de H 1 (k, Spin(q)), on note [q ] son image dans H 1 (k, SO(q)) et on va montrer que
q est isométrique à q. On note X le k-torseur sous Spin(q) attaché à z. Suivant
Panin [143, cor. 5.2.(2)], on sait que le morphisme Br(k) → Br(k(X)) est injectif.
Cas N = 2n. Comme q k(X) ∼ = q
k(X) , il suit que les algèbres de Clifford C(q)
et C(q ) sont k-isomorphes. Ainsi q ⊥ −q ∈ I 3
q (k) = 0, donc q et q sont
isométriques.
Cas N = 2n + 1. Soit δ ∈ k × le discriminant de q (et q ). Comme q k(X) ∼ = q
k(X) ,
il suit que les algèbres de Clifford paires C 0 (q) et C 0 (q ) sont k-isomorphes. Le
Corollaire 7.1.11 définit une forme quadratique ψ (resp. ψ
δ ) de dimension 2n+2
telle que ψ ⊥ ⊥δ ∼ = q ⊥ H (resp. ψ ⊥ ⊥δ ∼ = q ⊥ H); de plus C 0 (q) ∼ = E(ψ)
(resp. C 0 (q ) ∼ = E(ψ )). Ainsi ψ, ψ sont de discriminant trivial et ont même
invariant de Clifford, donc ψ ∼ = ψ d’où q ∼ = q .
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Second cas: k est de caractéristique 2. La forme binaire [δ, δ + 1] est isotrope
donc hyperbolique, et est choisie pour représenter δ. On écrit φ ⊥ H ∼ = φ ⊥
[δ, δ + 1] = ψ δ ⊥ ⊥δ et ψ δ fait l’affaire.
(3) Il suffit de traiter le cas anisotrope de rang 2n + 1 ≥ 3. D’après (2), on sait que
φ = ψ δ pour une k-forme quadratique ψ de dimension 2n+2 et de discriminant
trivial satisfaisant ψ ⊥ ⊥δ ∼ = φ ⊥ H. Nous affirmons que ψ est anisotrope et
raisonnons par l’absurde en supposant ψ isotrope. Si n = 1, alors ψ ∼ = H 2 et
ψ ⊥ ⊥δ ∼ = H 2 ⊥ ⊥δ = φ ⊥ H. Le théorème de simplification de Witt [63, Th.
8.4] implique que φ est isotrope, ce qui est une contradiction. Si n ≥ 2, on a
ψ = ψ 0 ⊥ H avec ψ 0 de dimension 2n ≥ 4, donc ψ ⊥ ⊥δ ∼ =
ψ 0 ⊥ ⊥δ
⊥ H.
Par suite, on a φ ∼ = ψ 0 ⊥ ⊥δ et cette forme est isotrope ce qui contredit (1). Ainsi
ψ est bien anisotrope. Le Théorème 7.1.5.(1) indique que ind k (E(ψ)) = 2 n . La
formule du (1) permet de conclure que ind k (C 0 (φ)) = 2 n .
7.1.6 Le cas de type B et des groupes de spineurs
Nous reprenons ici les références [11, §2.1] et [15, §2.2] en caractéristique libre.
Théorème 7.1.12 On suppose que scd 2 (k) ≤ 2. Soit q une forme quadratique non
dégénérée de dimension N ≥ 3. Alors H 1 (k, Spin(q)) = 1.
Démonstration On considère la suite exacte de k-groupes 1 → μ 2 → Spin(q) →
SO(q) → 1. Elle donne lieu à une suite exacte d’ensembles pointés
k
× /k
×2 ∼ = H
1
fppf (k, μ 2 )
ϕ
− → H
1 (k, Spin(q)) → H
1 (k, SO(q)).
On rappelle que l’ensemble H 1 (k, SO(q)) classifie les formes quadratiques non
dégénérées de dimension N et de même discriminant que q. Soit [z] une classe
de H 1 (k, Spin(q)), on note [q ] son image dans H 1 (k, SO(q)) et on va montrer que
q est isométrique à q. On note X le k-torseur sous Spin(q) attaché à z. Suivant
Panin [143, cor. 5.2.(2)], on sait que le morphisme Br(k) → Br(k(X)) est injectif.
Cas N = 2n. Comme q k(X) ∼ = q
k(X) , il suit que les algèbres de Clifford C(q)
et C(q ) sont k-isomorphes. Ainsi q ⊥ −q ∈ I 3
q (k) = 0, donc q et q sont
isométriques.
Cas N = 2n + 1. Soit δ ∈ k × le discriminant de q (et q ). Comme q k(X) ∼ = q
k(X) ,
il suit que les algèbres de Clifford paires C 0 (q) et C 0 (q ) sont k-isomorphes. Le
Corollaire 7.1.11 définit une forme quadratique ψ (resp. ψ
δ ) de dimension 2n+2
telle que ψ ⊥ ⊥δ ∼ = q ⊥ H (resp. ψ ⊥ ⊥δ ∼ = q ⊥ H); de plus C 0 (q) ∼ = E(ψ)
(resp. C 0 (q ) ∼ = E(ψ )). Ainsi ψ, ψ sont de discriminant trivial et ont même
invariant de Clifford, donc ψ ∼ = ψ d’où q ∼ = q .