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7 Groupes classiques
7.1.5 Autres formes quadratiques
Ce résultat a des conséquences sur les formes quadratiques de dimension impaire et
paire de discriminant arbitraire.
On rappelle qu’une forme quadratique non dégénérée q de dimension 2n + 1
est une k-forme fppf de la forme standard q 0 = =1 ⊥ H n [33, §2.6, 4.2] dont le
groupe orthogonal est noté O 2n+1 . En d’autres mots les formes quadratiques non
dégénérées de dimension impaire sont classifiées par l’ensemble H 1
fppf (k, O 2n+1 ).
Le déterminant GL 2n+1 → G m induit une suite exacte de k-groupes 1 →
SO 2n+1 → O 2n+1 → μ 2 → 1. En prenant la cohomologie plate, cette suite exacte
donne lieu à l’invariant discriminant δ : H 1
fppf (k, O 2n+1 ) → H 1 (k, μ 2 ) = k × /k ×2 .
Plus généralement, pour toute k-forme quadratique φ non dégénérée de dimension impaire, on a une suite exacte 1 → SO(φ) → O(φ) → μ 2 → 1 qui est
scindée par les homothéties. Par suite la flèche H 1
fppf (k, SO(φ)) → H 1
fppf (k, O(φ))
est injective et son image consiste en les classes d’isométrie de formes quadratiques
non dégénérées de même dimension et même discriminant que φ.
Corollaire 7.1.11 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable.
(1) Soit ψ une k-forme quadratique régulière de dimension 2n + 2 ≥ 4 et de
discriminant trivial. Pour tout δ ∈ k × , il existe une unique k-forme quadratique
ψ δ telle que ψ ⊥ ⊥δ ∼ = ψ δ ⊥ H. En outre, on a C(ψ δ ) ∼ = E(ψ).
(2) Pour chaque δ ∈ k × , l’assignation ψ → ψ δ induit une bijection entre les
classes d’isométries de formes quadratiques non dégénérées de dimension
2n + 2 ≥ 4 et de discriminant trivial et les classes d’isométrie de formes
quadratiques non dégénérées de dimension 2n + 1 et de discriminant (δ).
(3) Soit φ une k-forme quadratique non dégénérée de dimension 2n + 1 ≥ 3. Alors
2
n−ν k (φ)
= ind k (C 0 (φ)).
Démonstration
(1) Comme G(ψ) = k × , ψ représente tout élément de k × et en particulier −δ.
Ainsi ψ ⊥ ⊥δ est isotrope et le théorème de Witt produit la forme ψ δ . Suivant
la formule [63, 11.4.(2)], il existe un isomorphisme C 0 (ψ ⊥ ⊥δ) ∼ = C(−δψ).
Comme −δ ⊗ ψ = ψ, on a C(−δψ) = C(ψ) qui est Brauer équivalent à
E(ψ). Pour des raisons de degré, on conclut que C(ψ δ ) ∼ = E(ψ).
(2) Montrons que cette assignation est injective. Si ψ δ ∼ = ψ
δ , alors E(ψ) ∼ = E(ψ )
par la formule précédente et le théorème de Sivatski montre que ψ ∼ = ψ .
Montrons que l’assignation est surjective. Soit φ une forme k-forme quadratique
non dégénérée de dimension 2n + 1 et de discriminant δ.
Premier cas: k est de caractéristique = 2. On pose ψ = φ ⊥ ⊥−δ, alors
ψ ⊥ ⊥δ ∼ = φ ⊥ H, d’où ψ δ ∼ = φ.
7 Groupes classiques
7.1.5 Autres formes quadratiques
Ce résultat a des conséquences sur les formes quadratiques de dimension impaire et
paire de discriminant arbitraire.
On rappelle qu’une forme quadratique non dégénérée q de dimension 2n + 1
est une k-forme fppf de la forme standard q 0 = =1 ⊥ H n [33, §2.6, 4.2] dont le
groupe orthogonal est noté O 2n+1 . En d’autres mots les formes quadratiques non
dégénérées de dimension impaire sont classifiées par l’ensemble H 1
fppf (k, O 2n+1 ).
Le déterminant GL 2n+1 → G m induit une suite exacte de k-groupes 1 →
SO 2n+1 → O 2n+1 → μ 2 → 1. En prenant la cohomologie plate, cette suite exacte
donne lieu à l’invariant discriminant δ : H 1
fppf (k, O 2n+1 ) → H 1 (k, μ 2 ) = k × /k ×2 .
Plus généralement, pour toute k-forme quadratique φ non dégénérée de dimension impaire, on a une suite exacte 1 → SO(φ) → O(φ) → μ 2 → 1 qui est
scindée par les homothéties. Par suite la flèche H 1
fppf (k, SO(φ)) → H 1
fppf (k, O(φ))
est injective et son image consiste en les classes d’isométrie de formes quadratiques
non dégénérées de même dimension et même discriminant que φ.
Corollaire 7.1.11 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable.
(1) Soit ψ une k-forme quadratique régulière de dimension 2n + 2 ≥ 4 et de
discriminant trivial. Pour tout δ ∈ k × , il existe une unique k-forme quadratique
ψ δ telle que ψ ⊥ ⊥δ ∼ = ψ δ ⊥ H. En outre, on a C(ψ δ ) ∼ = E(ψ).
(2) Pour chaque δ ∈ k × , l’assignation ψ → ψ δ induit une bijection entre les
classes d’isométries de formes quadratiques non dégénérées de dimension
2n + 2 ≥ 4 et de discriminant trivial et les classes d’isométrie de formes
quadratiques non dégénérées de dimension 2n + 1 et de discriminant (δ).
(3) Soit φ une k-forme quadratique non dégénérée de dimension 2n + 1 ≥ 3. Alors
2
n−ν k (φ)
= ind k (C 0 (φ)).
Démonstration
(1) Comme G(ψ) = k × , ψ représente tout élément de k × et en particulier −δ.
Ainsi ψ ⊥ ⊥δ est isotrope et le théorème de Witt produit la forme ψ δ . Suivant
la formule [63, 11.4.(2)], il existe un isomorphisme C 0 (ψ ⊥ ⊥δ) ∼ = C(−δψ).
Comme −δ ⊗ ψ = ψ, on a C(−δψ) = C(ψ) qui est Brauer équivalent à
E(ψ). Pour des raisons de degré, on conclut que C(ψ δ ) ∼ = E(ψ).
(2) Montrons que cette assignation est injective. Si ψ δ ∼ = ψ
δ , alors E(ψ) ∼ = E(ψ )
par la formule précédente et le théorème de Sivatski montre que ψ ∼ = ψ .
Montrons que l’assignation est surjective. Soit φ une forme k-forme quadratique
non dégénérée de dimension 2n + 1 et de discriminant δ.
Premier cas: k est de caractéristique = 2. On pose ψ = φ ⊥ ⊥−δ, alors
ψ ⊥ ⊥δ ∼ = φ ⊥ H, d’où ψ δ ∼ = φ.