7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
101
Proposition 7.1.9 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable. Soit K/k une extension quadratique étale.
(1) Soient q 1 , q 2 des formes quadratiques anisotropes de I 2 (k) de même dimension
2n ≥ 6 telles que q 1 ⊗ k K et q 2 ⊗ k K sont similaires. Alors il existe a 1 , a 2 ∈ k × ,
θ ∈ H 1 (k, Z/2Z), q 0 ∈ I 2
q (k) anisotrope de dimension 2n − 2 tel que q 1 ≡
q 0 ⊥ ⊥1, −a 1 θ , q 2 ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a 2 θ .
(2) Soient A 1 , A 2 des algèbres simples centrales à division de degré commun
2 n−1 ≥ 4. On suppose que A 1 ⊗ k K et A 2 ⊗ k K sont K-isomorphes. Alors
il existe des décompositions A 1 ∼ = A 0 ⊗ k [θ, a 1 ), A 2 ∼ = A 0 ⊗ k [θ, a 2 ) où
a 1 , a 2 ∈ k × , θ ∈ H 1 (k, Z/2Z), et A 0 désigne une k-algèbre simple centrale
à division de degré 2 n−2 .
Démonstration On peut supposer que K est un corps.
(1) L’hypothèse entraîne que q 1 ⊥ −q 2 ≡ n χ ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2n pour b 1 , . . . , b 2n ∈
k × [63, prop. 34.8]. En calculant modulo I 3
q (k), on obtient q 1 ⊥ −q 2 ≡
−b χ pour b = (−1) n b 1 . . . b 2n ∈ k × . Il existe donc un isomorphisme
q 1 ⊥ −q 2
∼
−→ →1, −b χ ⊥ H 2n−2 . Par suite q 1 et q 2 coïncident sur un
sous-espace V de dimension 2n − 2. On note ϕ cette restriction, l’anisotropie
implique que ϕ est une forme quadratique régulière de sorte que l’on a des
décompositions orthogonales q i = ϕ ⊥ q
i où q
i est de dimension 2 pour
i = 1, 2. Comme G(q i ) = k × , il est loisible de supposer que ϕ représente
1. En comparant les discriminants, il vient q
i = (−a i ) n θ pour un caractère
θ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et a i ∈ k × . En ajoutant H 2 = −n θ ⊥ n θ , on obtient
q i ≡ (ϕ ⊥ −n θ ) ⊥ ⊥1, −a i θ
(i = 1, 2)
Comme (ϕ ⊥ −n θ ) est isotrope et de discriminant trivial, il existe q 0 ∈ I 2
q (k)
de dimension 2n − 2 tel que ϕ ⊥ −n θ ≡ q 0 , d’où q i ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a i θ
pour i = 1, 2. Si q 0 est isotrope, alors q 1 est Witt-équivalente à une forme de
dimension 2n−2, ce qui est une contradiction. On conclut que q 0 est anisotrope.
(2) On suppose que (A 1 ⊗ A 2 ) ⊗ k K est déployée, ainsi A 1 ⊗ k A 2 est Brauer
équivalente à une k-algèbre de quaternions [χ, b). Pour i = 1, 2, soit (V i , q i ) ∈
I 2
q (k) la forme quadratique anisotrope de dimension 2n associée à A i par le
Théorème 7.1.5.(2). Alors q 1 ⊥ −q 2 ≡ ≡1, b χ . Le (1) produit une forme q 0 ∈
I 2
q (k) anisotrope de dimension 2n − 2, θ , a 1 , a 2 tels que q i ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a i θ
pour i = 1, 2. Soit A 0 la k-algèbre simple centrale à division correspondant à q 0
selon le Théorème 7.1.5.(2). Cette algèbre est d’indice 2 n−2 et A i ∼ = A 0 ⊗[θ, a i )
pour i = 1, 2.
Remarque 7.1.10 Il est à noter que Chapman a établi dans ce contexte un “lemme
des chaînes” qui permet de relier deux décompositions distinctes en produit
d’algèbres de quaternions [35, th. 4.1 et 5.2].
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Proposition 7.1.9 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable. Soit K/k une extension quadratique étale.
(1) Soient q 1 , q 2 des formes quadratiques anisotropes de I 2 (k) de même dimension
2n ≥ 6 telles que q 1 ⊗ k K et q 2 ⊗ k K sont similaires. Alors il existe a 1 , a 2 ∈ k × ,
θ ∈ H 1 (k, Z/2Z), q 0 ∈ I 2
q (k) anisotrope de dimension 2n − 2 tel que q 1 ≡
q 0 ⊥ ⊥1, −a 1 θ , q 2 ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a 2 θ .
(2) Soient A 1 , A 2 des algèbres simples centrales à division de degré commun
2 n−1 ≥ 4. On suppose que A 1 ⊗ k K et A 2 ⊗ k K sont K-isomorphes. Alors
il existe des décompositions A 1 ∼ = A 0 ⊗ k [θ, a 1 ), A 2 ∼ = A 0 ⊗ k [θ, a 2 ) où
a 1 , a 2 ∈ k × , θ ∈ H 1 (k, Z/2Z), et A 0 désigne une k-algèbre simple centrale
à division de degré 2 n−2 .
Démonstration On peut supposer que K est un corps.
(1) L’hypothèse entraîne que q 1 ⊥ −q 2 ≡ n χ ⊗ ⊗b 1 , . . . , b 2n pour b 1 , . . . , b 2n ∈
k × [63, prop. 34.8]. En calculant modulo I 3
q (k), on obtient q 1 ⊥ −q 2 ≡
−b χ pour b = (−1) n b 1 . . . b 2n ∈ k × . Il existe donc un isomorphisme
q 1 ⊥ −q 2
∼
−→ →1, −b χ ⊥ H 2n−2 . Par suite q 1 et q 2 coïncident sur un
sous-espace V de dimension 2n − 2. On note ϕ cette restriction, l’anisotropie
implique que ϕ est une forme quadratique régulière de sorte que l’on a des
décompositions orthogonales q i = ϕ ⊥ q
i où q
i est de dimension 2 pour
i = 1, 2. Comme G(q i ) = k × , il est loisible de supposer que ϕ représente
1. En comparant les discriminants, il vient q
i = (−a i ) n θ pour un caractère
θ ∈ H 1 (k, Z/2Z) et a i ∈ k × . En ajoutant H 2 = −n θ ⊥ n θ , on obtient
q i ≡ (ϕ ⊥ −n θ ) ⊥ ⊥1, −a i θ
(i = 1, 2)
Comme (ϕ ⊥ −n θ ) est isotrope et de discriminant trivial, il existe q 0 ∈ I 2
q (k)
de dimension 2n − 2 tel que ϕ ⊥ −n θ ≡ q 0 , d’où q i ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a i θ
pour i = 1, 2. Si q 0 est isotrope, alors q 1 est Witt-équivalente à une forme de
dimension 2n−2, ce qui est une contradiction. On conclut que q 0 est anisotrope.
(2) On suppose que (A 1 ⊗ A 2 ) ⊗ k K est déployée, ainsi A 1 ⊗ k A 2 est Brauer
équivalente à une k-algèbre de quaternions [χ, b). Pour i = 1, 2, soit (V i , q i ) ∈
I 2
q (k) la forme quadratique anisotrope de dimension 2n associée à A i par le
Théorème 7.1.5.(2). Alors q 1 ⊥ −q 2 ≡ ≡1, b χ . Le (1) produit une forme q 0 ∈
I 2
q (k) anisotrope de dimension 2n − 2, θ , a 1 , a 2 tels que q i ≡ q 0 ⊥ ⊥1, −a i θ
pour i = 1, 2. Soit A 0 la k-algèbre simple centrale à division correspondant à q 0
selon le Théorème 7.1.5.(2). Cette algèbre est d’indice 2 n−2 et A i ∼ = A 0 ⊗[θ, a i )
pour i = 1, 2.
Remarque 7.1.10 Il est à noter que Chapman a établi dans ce contexte un “lemme
des chaînes” qui permet de relier deux décompositions distinctes en produit
d’algèbres de quaternions [35, th. 4.1 et 5.2].