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7 Groupes classiques
7.1.4 Dimension cohomologique séparable en 2
Les formes quadratiques permettent de caractériser la dimension cohomologique
séparable en 2.
Proposition 7.1.7 Pour m = 1, 2, les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) scd 2 (k) ≤ m;
(ii) I m+1
q
(L) = 0 pour toute extension finie séparable de k.
Démonstration Cas m = 1. (i) ⇒ (ii). Soit φ une 2-forme quadratique de Pfister.
Alors il existe une (unique) k-algèbre de quaternions Q telle que n Q ∼ = φ.
Comme 2 Br(k) = 0, Q est déployée et n Q ∼ = φ est hyperbolique. Or le
W (k)-module I 2
q (k) est engendré par les classes des 2-formes de Pfister donc
I 2
q (k) = 0. De la même façon, on a I 2
q (L) = 0 pour toute extension finie
séparable L/k.
(ii) ⇒ (i). Vu que 2 Br(k) ∼ = H 2
2 (k) est engendré par les classes d’algèbres de
Clifford de formes de I 2
q (k), on a H 2
2 (k) = 0. De même, H 2
2 (L) = 0 pour toute
extension finie séparable L/k, et le critère suivant 4.5.1 montre que scd 2 (k) ≤ 1.
Cas m = 2. (i) ⇒ (ii). Soit ψ une 3-forme quadratique de Pfister. Alors il existe
une 2-forme de Pfister φ telle que ψ = =1, −a ⊗ φ pour a ∈ k × . Il existe
une k-algèbre de quaternions Q telle que n Q ∼ = φ. La caractérisation 4.7.1 de
scd 2 (k) ≤ 2 montre que n Q (Q × ) = k × . En particulier a ∈ n Q (Q × ) d’où une
isométrie a n Q ∼ = n Q . On conclut que ψ est hyperbolique. Le W (k)-module
I 3
q (k) est engendré par les classes des 3-formes de Pfister donc I 3
q (k) = 0. De la
même façon, on a I 3
q (L) = 0 pour toute extension finie séparable L/k.
(ii) ⇒ (i). On utilise de nouveau la caractérisation avec la surjectivité des
normes réduites (cf. Th. 4.7.1). Soit L une extension finie séparable de k et B une
L-algèbre simple centrale de degré 2, c’est-à-dire une algèbre de quaternions. La
L-forme quadratique n B est une 2-forme de Pfister. Pour tout a ∈ L × , −a ⊗
n B ∈ I 3
q (L). Notre hypothèse entraîne que −a B est hyperbolique et donc
que a ∈ N B (B × ). Ceci montre que N B : B × → L × est surjective.
Remarque 7.1.8
(a) On aurait pu aussi utiliser pour m = 2, (i) ⇒ (ii), le Théorème 6.0.1 pour le
type D 4 intérieur, c’est-à-dire le fait H 1 (k, Spin 8 ) = 1. Ceci implique en effet
que les 3-formes quadratiques de Pfister sont hyperboliques.
(b) La Proposition 7.1.7 vaut en fait aussi pour tout m ≥ 3 en utilisant le théorème
de Orlov-Vishik-Voevodsky [142] (et celui de Kato en caractéristique 2 [111]).
Ce résultat a une contrepartie concernant la liaison (“linkage” en anglais) des
formes quadratiques.
7 Groupes classiques
7.1.4 Dimension cohomologique séparable en 2
Les formes quadratiques permettent de caractériser la dimension cohomologique
séparable en 2.
Proposition 7.1.7 Pour m = 1, 2, les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) scd 2 (k) ≤ m;
(ii) I m+1
q
(L) = 0 pour toute extension finie séparable de k.
Démonstration Cas m = 1. (i) ⇒ (ii). Soit φ une 2-forme quadratique de Pfister.
Alors il existe une (unique) k-algèbre de quaternions Q telle que n Q ∼ = φ.
Comme 2 Br(k) = 0, Q est déployée et n Q ∼ = φ est hyperbolique. Or le
W (k)-module I 2
q (k) est engendré par les classes des 2-formes de Pfister donc
I 2
q (k) = 0. De la même façon, on a I 2
q (L) = 0 pour toute extension finie
séparable L/k.
(ii) ⇒ (i). Vu que 2 Br(k) ∼ = H 2
2 (k) est engendré par les classes d’algèbres de
Clifford de formes de I 2
q (k), on a H 2
2 (k) = 0. De même, H 2
2 (L) = 0 pour toute
extension finie séparable L/k, et le critère suivant 4.5.1 montre que scd 2 (k) ≤ 1.
Cas m = 2. (i) ⇒ (ii). Soit ψ une 3-forme quadratique de Pfister. Alors il existe
une 2-forme de Pfister φ telle que ψ = =1, −a ⊗ φ pour a ∈ k × . Il existe
une k-algèbre de quaternions Q telle que n Q ∼ = φ. La caractérisation 4.7.1 de
scd 2 (k) ≤ 2 montre que n Q (Q × ) = k × . En particulier a ∈ n Q (Q × ) d’où une
isométrie a n Q ∼ = n Q . On conclut que ψ est hyperbolique. Le W (k)-module
I 3
q (k) est engendré par les classes des 3-formes de Pfister donc I 3
q (k) = 0. De la
même façon, on a I 3
q (L) = 0 pour toute extension finie séparable L/k.
(ii) ⇒ (i). On utilise de nouveau la caractérisation avec la surjectivité des
normes réduites (cf. Th. 4.7.1). Soit L une extension finie séparable de k et B une
L-algèbre simple centrale de degré 2, c’est-à-dire une algèbre de quaternions. La
L-forme quadratique n B est une 2-forme de Pfister. Pour tout a ∈ L × , −a ⊗
n B ∈ I 3
q (L). Notre hypothèse entraîne que −a B est hyperbolique et donc
que a ∈ N B (B × ). Ceci montre que N B : B × → L × est surjective.
Remarque 7.1.8
(a) On aurait pu aussi utiliser pour m = 2, (i) ⇒ (ii), le Théorème 6.0.1 pour le
type D 4 intérieur, c’est-à-dire le fait H 1 (k, Spin 8 ) = 1. Ceci implique en effet
que les 3-formes quadratiques de Pfister sont hyperboliques.
(b) La Proposition 7.1.7 vaut en fait aussi pour tout m ≥ 3 en utilisant le théorème
de Orlov-Vishik-Voevodsky [142] (et celui de Kato en caractéristique 2 [111]).
Ce résultat a une contrepartie concernant la liaison (“linkage” en anglais) des
formes quadratiques.