7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
99
Démonstration Vu que I 3
q (k) = 0, l’isomorphisme I 2
q (k)/I 3
q (k)
∼
−→ 2 Br(k) induit
un isomorphisme
I
2
q (k)
∼
−→ 2 Br(k).
On a ceci pour toute extension finie séparable L/k.
(1) Les deux quantités étant insensibles à une extension séparable de degré impair,
il est donc loisible de supposer que le corps k est 2-spécial. On montre la
formule par récurrence sur e = ind k (E(φ)) ≥ 2.
Cas e = 2. Alors E(φ) est Brauer-équivalente à une k-algèbre de quaternions
à division Q de sorte que n Q est Witt équivalente à φ. Ainsi ν k (φ) = n − 2
et la formule vaut dans ce cas.
Cas e ≥ 3. Supposons φ isotrope. Alors il existe une décomposition φ =
φ ⊕ H, d’où un isomorphisme E(φ) ∼ = M 2 (E(φ )). Alors E(φ) et E(φ )
sont Brauer équivalents et φ et φ sont Witt équivalents. La formule pour
φ suit par récurrence de la formule pour φ . On suppose donc que φ est
anisotrope. On doit montrer que E(φ) est d’indice 2 n−1 . On raisonne par
l’absurde en écrivant E(φ) = M 2 r (D) avec D à division et r ≥ 1. Soit
L/k un sous-corps commutatif maximal séparable de D. Alors L/k est
une tour d’extensions quadratiques et contient en particulier une extension
quadratique séparable K/k. Ainsi D K n’est pas à division, donc ind K (D)
divise
ind k (D)
2
. Suivant [86, cor. 4.5.11.(1)], on a en fait ind K (D) =
ind k (D)
2
=
2 n−r−2 . Par récurrence on a 2 n−r−2 = ind K (E(φ)) = 2 n−1−ν K (φ) , donc
ν K (φ) = r + 1 ≥ 2. D’après [63, prop. 34.8], il existe une décomposition
φ = φ 0 ⊥ n K ⊗⊗a, b. Comme I 3 (K) = 0, la 2-forme de Pfister n K ⊗⊗a, b
représente tout élément de k × , ce qui contredit l’anisotropie de φ.
(2) On peut supposer que A est à division de degré 2 n−1 > 1. La classe [A]
définit une forme quadratique anisotrope φ de rang pair et de discriminant trivial
telle que E(φ) est Brauer-équivalente à A. D’après (1), E(φ) est à division.
Le Lemme 7.1.3.(2) montre que E(φ) est un produit tensoriel d’algèbres
de quaternions. On conclut que A est un produit tensoriel d’algèbres de
quaternions.
Remarques 7.1.6
(a) Noter que l’hypothèse I 3
q (k) = 0 implique que pour chaque forme φ ∈ I 2
q (k),
on a G k (φ) = k × , i.e. tout scalaire non nul est facteur de similitude de φ.
(b) En caractérique = 2, Merkurjev a construit des corps de dimension cohomologique 2 avec des indices arbitrairement grands [131].
(c) Cet énoncé de décomposabilité est faux en général. En effet, il existe un corps
F et une F -algèbre simple centrale de degré 8 et de période 2, qui n’est pas un
produit tensoriel de trois algèbres de quaternions (Amitsur/Rowen/Tignol, [2]).
(d) La généralisation du théorème de Sivatski au cas de périodes impaires
3, 5, 7, . . . est une question ouverte à notre connaissance.
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Démonstration Vu que I 3
q (k) = 0, l’isomorphisme I 2
q (k)/I 3
q (k)
∼
−→ 2 Br(k) induit
un isomorphisme
I
2
q (k)
∼
−→ 2 Br(k).
On a ceci pour toute extension finie séparable L/k.
(1) Les deux quantités étant insensibles à une extension séparable de degré impair,
il est donc loisible de supposer que le corps k est 2-spécial. On montre la
formule par récurrence sur e = ind k (E(φ)) ≥ 2.
Cas e = 2. Alors E(φ) est Brauer-équivalente à une k-algèbre de quaternions
à division Q de sorte que n Q est Witt équivalente à φ. Ainsi ν k (φ) = n − 2
et la formule vaut dans ce cas.
Cas e ≥ 3. Supposons φ isotrope. Alors il existe une décomposition φ =
φ ⊕ H, d’où un isomorphisme E(φ) ∼ = M 2 (E(φ )). Alors E(φ) et E(φ )
sont Brauer équivalents et φ et φ sont Witt équivalents. La formule pour
φ suit par récurrence de la formule pour φ . On suppose donc que φ est
anisotrope. On doit montrer que E(φ) est d’indice 2 n−1 . On raisonne par
l’absurde en écrivant E(φ) = M 2 r (D) avec D à division et r ≥ 1. Soit
L/k un sous-corps commutatif maximal séparable de D. Alors L/k est
une tour d’extensions quadratiques et contient en particulier une extension
quadratique séparable K/k. Ainsi D K n’est pas à division, donc ind K (D)
divise
ind k (D)
2
. Suivant [86, cor. 4.5.11.(1)], on a en fait ind K (D) =
ind k (D)
2
=
2 n−r−2 . Par récurrence on a 2 n−r−2 = ind K (E(φ)) = 2 n−1−ν K (φ) , donc
ν K (φ) = r + 1 ≥ 2. D’après [63, prop. 34.8], il existe une décomposition
φ = φ 0 ⊥ n K ⊗⊗a, b. Comme I 3 (K) = 0, la 2-forme de Pfister n K ⊗⊗a, b
représente tout élément de k × , ce qui contredit l’anisotropie de φ.
(2) On peut supposer que A est à division de degré 2 n−1 > 1. La classe [A]
définit une forme quadratique anisotrope φ de rang pair et de discriminant trivial
telle que E(φ) est Brauer-équivalente à A. D’après (1), E(φ) est à division.
Le Lemme 7.1.3.(2) montre que E(φ) est un produit tensoriel d’algèbres
de quaternions. On conclut que A est un produit tensoriel d’algèbres de
quaternions.
Remarques 7.1.6
(a) Noter que l’hypothèse I 3
q (k) = 0 implique que pour chaque forme φ ∈ I 2
q (k),
on a G k (φ) = k × , i.e. tout scalaire non nul est facteur de similitude de φ.
(b) En caractérique = 2, Merkurjev a construit des corps de dimension cohomologique 2 avec des indices arbitrairement grands [131].
(c) Cet énoncé de décomposabilité est faux en général. En effet, il existe un corps
F et une F -algèbre simple centrale de degré 8 et de période 2, qui n’est pas un
produit tensoriel de trois algèbres de quaternions (Amitsur/Rowen/Tignol, [2]).
(d) La généralisation du théorème de Sivatski au cas de périodes impaires
3, 5, 7, . . . est une question ouverte à notre connaissance.