98
7 Groupes classiques
Par récurrence sur la dimension, E(γ ⊥ ψ) est un produit tensoriel de
n − 2 algèbres de quaternions. Le même raisonnement que pour le cas de
caractéristique = 2 montre que E(φ) est un produit tensoriel de n − 1
algèbres de quaternions.
(3) On raisonne par l’absurde en supposant que φ est isotrope. Alors φ = φ 1 ⊥
H ce qui entraîne que C(φ) ∼ = C(φ 1 ) ⊗ k C(H) ∼ = M 2 (E(φ 1 )) ⊗ k M 2 (k) =
M 4 (E(φ 1 )). Ainsi C(φ) n’est pas à division.
(4) L’exemple quaternionique 7.1.2 règle le cas n = 2. On écrit A = Q 1 ⊗· · ·⊗Q n
où les Q i sont des algèbres de quaternions. Par récurrence il existe une forme
φ ∈ I 2
q (k) de dimension 2n telle que E(φ) ∼ = Q 1 ⊗· · ·⊗Q n−1 et qui représente
−1. Alors φ ⊥ n Q n = ψ ⊥ H; ψ appartient à I 2
q (k), est de dimension 2n et
satisfait E(ψ) ∼ = Q 1 ⊗ · · · ⊗ Q n .
Remarque 7.1.4 Sous les conditions du Lemme 7.1.3, on sait que C 0 (φ) est
isomorphe à E(φ) × E(φ) [106, 6.4.4].
L’invariant de Clifford donne lieu à un morphisme cliff : I 2
q (k) → 2 Br(k) et le
théorème de Merkurjev (Sah pour la caractéristique 2 [152, th. 2], voir aussi [63, th.
16.3]) est que cet invariant induit un isomorphisme
I
2
q (k)/I
3
q (k)
∼
−→ 2 Br(k).
7.1.3 Le théorème de Sivatski
Théorème 7.1.5 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable.
(1) Soit φ une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 2, de
discriminant trivial et non hyperbolique. Alors
ind k (E(φ)) = 2
n−1−ν k (φ) .
En outre φ est anisotrope si et seulement si E(φ) est à division c’est-à-dire
d’indice 2 n−1 .
(2) Soit A une k-algèbre simple centrale de période 2 dans le groupe de Brauer
et de degré 2 n−1 (n ≥ 2). Alors A est un produit tensoriel d’algèbres de
quaternions. De plus, il existe une unique forme quadratique φ non-dégénérée
de dimension 2n de discriminant trivial telle que E(φ) ∼ = A.
En d’autres mots, ce résultat dit que les k-algèbres simples centrales de période
2 dans le groupe de Brauer sont décomposables en produits tensoriels d’algèbres de
quaternions.
7 Groupes classiques
Par récurrence sur la dimension, E(γ ⊥ ψ) est un produit tensoriel de
n − 2 algèbres de quaternions. Le même raisonnement que pour le cas de
caractéristique = 2 montre que E(φ) est un produit tensoriel de n − 1
algèbres de quaternions.
(3) On raisonne par l’absurde en supposant que φ est isotrope. Alors φ = φ 1 ⊥
H ce qui entraîne que C(φ) ∼ = C(φ 1 ) ⊗ k C(H) ∼ = M 2 (E(φ 1 )) ⊗ k M 2 (k) =
M 4 (E(φ 1 )). Ainsi C(φ) n’est pas à division.
(4) L’exemple quaternionique 7.1.2 règle le cas n = 2. On écrit A = Q 1 ⊗· · ·⊗Q n
où les Q i sont des algèbres de quaternions. Par récurrence il existe une forme
φ ∈ I 2
q (k) de dimension 2n telle que E(φ) ∼ = Q 1 ⊗· · ·⊗Q n−1 et qui représente
−1. Alors φ ⊥ n Q n = ψ ⊥ H; ψ appartient à I 2
q (k), est de dimension 2n et
satisfait E(ψ) ∼ = Q 1 ⊗ · · · ⊗ Q n .
Remarque 7.1.4 Sous les conditions du Lemme 7.1.3, on sait que C 0 (φ) est
isomorphe à E(φ) × E(φ) [106, 6.4.4].
L’invariant de Clifford donne lieu à un morphisme cliff : I 2
q (k) → 2 Br(k) et le
théorème de Merkurjev (Sah pour la caractéristique 2 [152, th. 2], voir aussi [63, th.
16.3]) est que cet invariant induit un isomorphisme
I
2
q (k)/I
3
q (k)
∼
−→ 2 Br(k).
7.1.3 Le théorème de Sivatski
Théorème 7.1.5 On suppose que I 3
q (L) = 0 pour toute extension L/k finie
séparable.
(1) Soit φ une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 2, de
discriminant trivial et non hyperbolique. Alors
ind k (E(φ)) = 2
n−1−ν k (φ) .
En outre φ est anisotrope si et seulement si E(φ) est à division c’est-à-dire
d’indice 2 n−1 .
(2) Soit A une k-algèbre simple centrale de période 2 dans le groupe de Brauer
et de degré 2 n−1 (n ≥ 2). Alors A est un produit tensoriel d’algèbres de
quaternions. De plus, il existe une unique forme quadratique φ non-dégénérée
de dimension 2n de discriminant trivial telle que E(φ) ∼ = A.
En d’autres mots, ce résultat dit que les k-algèbres simples centrales de période
2 dans le groupe de Brauer sont décomposables en produits tensoriels d’algèbres de
quaternions.