7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
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Si φ désigne une forme quadratique non dégénérée, on note C(φ) son algèbre de
Clifford. Si φ, ψ sont deux formes quadratiques non dégénérées de dimension paire
et de discriminant trivial, alors on a un isomorphisme C(φ)⊗C(ψ)
∼
−→ C(φ ⊥ ψ);
on a aussi un isomorphisme C(aφ) ∼ = C(φ) pour tout a ∈ k × .
Lemme 7.1.3 Soit φ une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 2
et de discriminant trivial.
(1) Il existe une k-algèbre simple centrale E(φ), unique à isomorphisme près, telle
que C(φ) ∼ = M 2 (E(φ)).
(2) E(φ) est isomorphe au produit tensoriel de n − 1 algèbres de quaternions.
(3) Si E(φ) est à division, alors φ est anisotrope.
(4) Soit A une k-algèbre simple centrale qui est le produit tensoriel de n algèbres
de quaternions (n ≥ 1). Alors il existe une forme quadratique non dégénérée ψ
de dimension 2n + 2 telle que E(ψ) ∼ = A.
Démonstration
(1) et (2). Si n = 1, alors φ est hyperbolique [63, cor. 13.3] et C(φ) ∼ = M 2 (k).
Si n = 2, alors φ est similaire à n Q pour une algèbre de quaternions Q et le
résultat suit de l’Exemple 7.1.2. On raisonne alors par récurrence en distinguant
le cas de caractéristique 2.
Cas 2 ∈ k × . On décompose φ = =a, b, c ⊥ ψ. Notant H le plan hyperbolique, on a φ ⊥ H ∼ = a, b, c, abc ⊥ ψ où ψ = =−abc ⊥ ψ est de
dimension 2n − 2 et de discriminant trivial. Il vient un isomorphisme
C(φ)⊗M 2 (k)
∼
−→ C(a, b, c, abc = M 2 (k)⊗(ab, ac)⊗M 2 (E(ψ
)),
d’où un isomorphisme C(φ)
∼
−→ (ab, ac)⊗M 2 (E(ψ))
∼
−→ M 2
(ab, ac)⊗
E(ψ )). Par suite, on a E(φ) ∼ = (ab, ac) ⊗ E(ψ ) et par récurrence
sur la dimension, E(ψ ) est un produit tensoriel de n − 2 algèbres de
quaternions. On conclut que E(φ) est un produit tensoriel de n − 1 algèbres
de quaternions.
Cas de caractéristique 2. On décompose φ = [a, b] ⊥ [c, d] ⊥ ψ. On a
φ ⊥ H 2 ∼ = [a, b] ⊥ [c,
ab
c ] ⊥ [c, d] ⊥ [c,
ab
c ] ⊥ ψ. On écrit [c, d] ⊥
[c,
ab
c ] ∼ = H ⊥ γ , d’où par simplification de Witt une décomposition
φ ⊥ H
∼
−→
[a, b] ⊥ [c,
ab
c
]
⊥ (γ ⊥ ψ)
en formes de dimension paire et de discriminant trivial. Il existe une algèbre
de quaternions Q telle que a n Q ∼ = [a, b] ⊥ [c,
ab
c ]. Ainsi, on a
C(φ) ⊗ M 2 (k)
∼
−→ M 2 (Q) ⊗ C(γ ⊥ ψ) = M 4
Q ⊗ E(γ ⊥ ψ)
.
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Si φ désigne une forme quadratique non dégénérée, on note C(φ) son algèbre de
Clifford. Si φ, ψ sont deux formes quadratiques non dégénérées de dimension paire
et de discriminant trivial, alors on a un isomorphisme C(φ)⊗C(ψ)
∼
−→ C(φ ⊥ ψ);
on a aussi un isomorphisme C(aφ) ∼ = C(φ) pour tout a ∈ k × .
Lemme 7.1.3 Soit φ une forme quadratique non dégénérée de dimension 2n ≥ 2
et de discriminant trivial.
(1) Il existe une k-algèbre simple centrale E(φ), unique à isomorphisme près, telle
que C(φ) ∼ = M 2 (E(φ)).
(2) E(φ) est isomorphe au produit tensoriel de n − 1 algèbres de quaternions.
(3) Si E(φ) est à division, alors φ est anisotrope.
(4) Soit A une k-algèbre simple centrale qui est le produit tensoriel de n algèbres
de quaternions (n ≥ 1). Alors il existe une forme quadratique non dégénérée ψ
de dimension 2n + 2 telle que E(ψ) ∼ = A.
Démonstration
(1) et (2). Si n = 1, alors φ est hyperbolique [63, cor. 13.3] et C(φ) ∼ = M 2 (k).
Si n = 2, alors φ est similaire à n Q pour une algèbre de quaternions Q et le
résultat suit de l’Exemple 7.1.2. On raisonne alors par récurrence en distinguant
le cas de caractéristique 2.
Cas 2 ∈ k × . On décompose φ = =a, b, c ⊥ ψ. Notant H le plan hyperbolique, on a φ ⊥ H ∼ = a, b, c, abc ⊥ ψ où ψ = =−abc ⊥ ψ est de
dimension 2n − 2 et de discriminant trivial. Il vient un isomorphisme
C(φ)⊗M 2 (k)
∼
−→ C(a, b, c, abc = M 2 (k)⊗(ab, ac)⊗M 2 (E(ψ
)),
d’où un isomorphisme C(φ)
∼
−→ (ab, ac)⊗M 2 (E(ψ))
∼
−→ M 2
(ab, ac)⊗
E(ψ )). Par suite, on a E(φ) ∼ = (ab, ac) ⊗ E(ψ ) et par récurrence
sur la dimension, E(ψ ) est un produit tensoriel de n − 2 algèbres de
quaternions. On conclut que E(φ) est un produit tensoriel de n − 1 algèbres
de quaternions.
Cas de caractéristique 2. On décompose φ = [a, b] ⊥ [c, d] ⊥ ψ. On a
φ ⊥ H 2 ∼ = [a, b] ⊥ [c,
ab
c ] ⊥ [c, d] ⊥ [c,
ab
c ] ⊥ ψ. On écrit [c, d] ⊥
[c,
ab
c ] ∼ = H ⊥ γ , d’où par simplification de Witt une décomposition
φ ⊥ H
∼
−→
[a, b] ⊥ [c,
ab
c
]
⊥ (γ ⊥ ψ)
en formes de dimension paire et de discriminant trivial. Il existe une algèbre
de quaternions Q telle que a n Q ∼ = [a, b] ⊥ [c,
ab
c ]. Ainsi, on a
C(φ) ⊗ M 2 (k)
∼
−→ M 2 (Q) ⊗ C(γ ⊥ ψ) = M 4
Q ⊗ E(γ ⊥ ψ)
.