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7 Groupes classiques
7.1.1 Formes quadratiques de Pfister
Si 2 ∈ k × et a 1 , . . . , a n ∈ k × , on note 1 , . . . , a n = =1, −a 1 ⊗· · ·⊗⊗1, −a n la
n-forme de Pfister. Dans le cas de caractéristique 2, si a 1 , . . . , a n−1 ∈ k × et b ∈ k,
on note 1 , . . . , a n−1 , b]] = =1, −a 1 ⊗ · · · ⊗ ⊗1, −a n−1 ⊗ [1, b] la n-forme de
Pfister. Si n = 1 et χ ∈ H 1 (k, Z/2Z), alors la forme norme n k χ /k est une 1-forme
de Pfister.
Proposition 7.1.1 Soit φ une n-forme quadratique de Pfister n ≥ 1 et soit χ ∈
H 1 (k, Z/2Z). Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) φ ⊗ k k χ est hyperbolique;
(ii) Il existe a 1 , . . . , a n−1 telle que φ ∼ = 1 , . . . , a n−1 ⊗ n k χ /k ;
(iii) L’indice de Witt de la forme quadratique non dégénérée φ ⊥ −n k χ /k est ≥ 2.
Démonstration Si χ = 0 , alors les assertions (i), (ii) et (iii) sont vérifiées. Il est
donc loisible de supposer que χ = 0, c’est-à-dire que k χ est un corps et que la forme
binaire n k χ /k est anisotrope.
(i) ⇒ (ii). Voir [63, th. 34.22.(3)].
(ii) ⇒ (iii). On a φ ⊥ −n k χ /k ∼ =
1 , . . . , a n−1 ⊥ ⊥−1
⊗ n k χ /k . Cette
forme contient −1 k χ /k
∼
−→ H 2 et il suit que l’indice de Witt de φ ⊥ −n k χ /k
est ≥ 2.
(iii) ⇒ (i). Alors le k χ -indice de Witt de φ ⊥ H est ≥ 2, donc le k χ -indice
de Witt de φ est ≥ 1. Ainsi φ ⊗ k k χ est isotrope, elle est donc hyperbolique suivant
[63, cor. 9.10].
7.1.2 Algèbres de Clifford
On note W (k) l’anneau de Witt des formes bilinéaires symétriques non dégénérées
et I (k) son idéal fondamental. On note W q (k) le groupe de Witt des formes
quadratiques non dégénérées, I q (k) ⊂ W q (k) le sous-groupe engendré par les
formes de dimension paire. Le groupe W q (k) est un W (k)-module et on note
I n
q (k) = I (k) n−1 I q (k) pour tout n ≥ 1.
Si φ désigne une forme quadratique non dégénérée, on note C(φ) (resp. C 0 (φ))
son algèbre de Clifford (resp. l’algèbre de Clifford paire). Si φ est de dimension
paire 2n, C(φ) est une algèbre simple centrale de degré 2 2n et C 0 (φ) est une algèbre
d’Azumaya sur son centre Z(φ) qui est une k-algèbre étale quadratique. La classe
[Z(φ)] ∈ H 1 (k, Z/2Z) est appelée le discriminant de φ (appelé aussi invariant de
Arf dans le cas de caractéristique 2).
Exemple 7.1.2 Si Q est une k-algèbre de quaternions, alors la norme quaternionique n Q est de discriminant trivial et C(n Q ) ∼ = M 2 (Q) [63, prop. 12.4].
7 Groupes classiques
7.1.1 Formes quadratiques de Pfister
Si 2 ∈ k × et a 1 , . . . , a n ∈ k × , on note 1 , . . . , a n = =1, −a 1 ⊗· · ·⊗⊗1, −a n la
n-forme de Pfister. Dans le cas de caractéristique 2, si a 1 , . . . , a n−1 ∈ k × et b ∈ k,
on note 1 , . . . , a n−1 , b]] = =1, −a 1 ⊗ · · · ⊗ ⊗1, −a n−1 ⊗ [1, b] la n-forme de
Pfister. Si n = 1 et χ ∈ H 1 (k, Z/2Z), alors la forme norme n k χ /k est une 1-forme
de Pfister.
Proposition 7.1.1 Soit φ une n-forme quadratique de Pfister n ≥ 1 et soit χ ∈
H 1 (k, Z/2Z). Les assertions suivantes sont équivalentes:
(i) φ ⊗ k k χ est hyperbolique;
(ii) Il existe a 1 , . . . , a n−1 telle que φ ∼ = 1 , . . . , a n−1 ⊗ n k χ /k ;
(iii) L’indice de Witt de la forme quadratique non dégénérée φ ⊥ −n k χ /k est ≥ 2.
Démonstration Si χ = 0 , alors les assertions (i), (ii) et (iii) sont vérifiées. Il est
donc loisible de supposer que χ = 0, c’est-à-dire que k χ est un corps et que la forme
binaire n k χ /k est anisotrope.
(i) ⇒ (ii). Voir [63, th. 34.22.(3)].
(ii) ⇒ (iii). On a φ ⊥ −n k χ /k ∼ =
1 , . . . , a n−1 ⊥ ⊥−1
⊗ n k χ /k . Cette
forme contient −1 k χ /k
∼
−→ H 2 et il suit que l’indice de Witt de φ ⊥ −n k χ /k
est ≥ 2.
(iii) ⇒ (i). Alors le k χ -indice de Witt de φ ⊥ H est ≥ 2, donc le k χ -indice
de Witt de φ est ≥ 1. Ainsi φ ⊗ k k χ est isotrope, elle est donc hyperbolique suivant
[63, cor. 9.10].
7.1.2 Algèbres de Clifford
On note W (k) l’anneau de Witt des formes bilinéaires symétriques non dégénérées
et I (k) son idéal fondamental. On note W q (k) le groupe de Witt des formes
quadratiques non dégénérées, I q (k) ⊂ W q (k) le sous-groupe engendré par les
formes de dimension paire. Le groupe W q (k) est un W (k)-module et on note
I n
q (k) = I (k) n−1 I q (k) pour tout n ≥ 1.
Si φ désigne une forme quadratique non dégénérée, on note C(φ) (resp. C 0 (φ))
son algèbre de Clifford (resp. l’algèbre de Clifford paire). Si φ est de dimension
paire 2n, C(φ) est une algèbre simple centrale de degré 2 2n et C 0 (φ) est une algèbre
d’Azumaya sur son centre Z(φ) qui est une k-algèbre étale quadratique. La classe
[Z(φ)] ∈ H 1 (k, Z/2Z) est appelée le discriminant de φ (appelé aussi invariant de
Arf dans le cas de caractéristique 2).
Exemple 7.1.2 Si Q est une k-algèbre de quaternions, alors la norme quaternionique n Q est de discriminant trivial et C(n Q ) ∼ = M 2 (Q) [63, prop. 12.4].