Chapitre 7
Groupes classiques
L’objectif principal est de montrer le théorème suivant dû à Bayer-Fluckiger/Lenstra
dans le cas parfait [11] et à Berhuy/Frings/Tignol dans le cas général [15].
Théorème 7.0.1 Soient k un corps et G/k un groupe semi-simple simplement
connexe. On suppose que G est classique, c’est-à-dire que les facteurs de G qd sont
de type A, B, C, D et non trialitaire dans le cas de D 4 . On suppose que scd p (k) ≤ 2
pour tout p ∈ S(G). Alors H 1 (k, G) = 1.
Comme d’habitude, il suffit de traiter le cas absolument presque simple. Rappelons que le cas A intérieur a déjà été expliqué, il s’agit du théorème de Suslin de
surjectivité de la norme réduite (Th. 4.8.4).
7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
Nous utilisons comme référence le livre de Elman/Karpenko/Merkurjev [63] dont
une grande partie est en caractéristique libre. Cela conduit à distinguer les formes
bilinéaires symétriques et les formes quadratiques. Si q est une forme quadratique
non dégénérée, on note ν k (q) son indice de Witt, i.e. la dimension d’un sous-espace
totalement isotrope maximal.
En caractéristique = 2, on note 1 , . . . , a n la forme quadratique diagonale
associée à des scalaires a 1 , . . . , a n ∈ k × .
En caractéristique 2, pour a, b ∈ k, on note [a, b] la forme quadratique binaire
ax 2 + xy + by 2 ; on a les relations [a, b] ⊥ [c, d] ∼ = [a + c, b] ⊥ [c, b + d] et en
particulier, [a, b] ⊥ [a, b] est hyperbolique.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_7
95
Groupes classiques
L’objectif principal est de montrer le théorème suivant dû à Bayer-Fluckiger/Lenstra
dans le cas parfait [11] et à Berhuy/Frings/Tignol dans le cas général [15].
Théorème 7.0.1 Soient k un corps et G/k un groupe semi-simple simplement
connexe. On suppose que G est classique, c’est-à-dire que les facteurs de G qd sont
de type A, B, C, D et non trialitaire dans le cas de D 4 . On suppose que scd p (k) ≤ 2
pour tout p ∈ S(G). Alors H 1 (k, G) = 1.
Comme d’habitude, il suffit de traiter le cas absolument presque simple. Rappelons que le cas A intérieur a déjà été expliqué, il s’agit du théorème de Suslin de
surjectivité de la norme réduite (Th. 4.8.4).
7.1 Formes bilinéaires et quadratiques
Nous utilisons comme référence le livre de Elman/Karpenko/Merkurjev [63] dont
une grande partie est en caractéristique libre. Cela conduit à distinguer les formes
bilinéaires symétriques et les formes quadratiques. Si q est une forme quadratique
non dégénérée, on note ν k (q) son indice de Witt, i.e. la dimension d’un sous-espace
totalement isotrope maximal.
En caractéristique = 2, on note 1 , . . . , a n la forme quadratique diagonale
associée à des scalaires a 1 , . . . , a n ∈ k × .
En caractéristique 2, pour a, b ∈ k, on note [a, b] la forme quadratique binaire
ax 2 + xy + by 2 ; on a les relations [a, b] ⊥ [c, d] ∼ = [a + c, b] ⊥ [c, b + d] et en
particulier, [a, b] ⊥ [a, b] est hyperbolique.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_7
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