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6 Conjecture II, le cas quasi-déployé
D’après le Théorème 3.4.1 (ou [75, th. C]), ceci entraîne que G est déployé.
Vu que G ad = Aut(G), il suit que [z] s’envoie sur 1 dans H 1 (k, G ad ). Or
H 1 (k, G) → H 1 (k, G ad ) est triviale (cas trivial de la Proposition 5.4.1), donc
[z] = 1 ∈ H 1 (k, G).
Type F 4 : On suppose que G est déployé de type F 4 . Soit [z] ∈ H 1 (k, G). Le
Lemme 3.2.14.(3) indique que le k-groupe tordu G = z G admet un k-sousgroupe H semi-simple simplement connexe de type D 4 qui est une k-forme
fortement intérieure de sa forme quasi-déployé H q . En d’autres mots, il existe
un 1-cocycle a à valeurs dans H q (k s ) tel que H ∼ =a H q . On a montré que
H 1 (k, H q ) = 1, d’où H est quasi-déployé. En particulier, H est de k-rang ≥ 2
et G de même. Comme l’atteste les tables de Tits (§9.5.2), le k-groupe G est
déployé, donc G ∼ = G . Or G = Aut(G), donc H 1 (k, G) classifie les k-formes
de G, et on conclut que [z] = 1.
Type G 2 : On suppose que G est déployé de type G 2 . L’ensemble H 1 (k, G) classifie
les k-groupes de type G 2 et les algèbres d’octonions. Une algèbre d’octonion
possède une extension quadratique étale [167, th. 1.6.2] et celle-ci la déploie. Il
suit qu’une classe de H 1 (k, G) est tuée après une extension quadratique étale.
Le Corollaire 5.5.3 permet de conclure une nouvelle fois que H 1 (k, G) = 1.
Remarque 6.2.1 Pour le cas déployé de type E 6 , une démonstration alternative en
caractéristique = 3 est de procéder comme en type E 7 en utilisant le fait qu’une
forme fortement intérieure de type E 6 contient un k-groupe de type F 4 ([178,
Lemme 1]). Il peut aussi se faire de la même façon que le cas général de type E 7 .
6 Conjecture II, le cas quasi-déployé
D’après le Théorème 3.4.1 (ou [75, th. C]), ceci entraîne que G est déployé.
Vu que G ad = Aut(G), il suit que [z] s’envoie sur 1 dans H 1 (k, G ad ). Or
H 1 (k, G) → H 1 (k, G ad ) est triviale (cas trivial de la Proposition 5.4.1), donc
[z] = 1 ∈ H 1 (k, G).
Type F 4 : On suppose que G est déployé de type F 4 . Soit [z] ∈ H 1 (k, G). Le
Lemme 3.2.14.(3) indique que le k-groupe tordu G = z G admet un k-sousgroupe H semi-simple simplement connexe de type D 4 qui est une k-forme
fortement intérieure de sa forme quasi-déployé H q . En d’autres mots, il existe
un 1-cocycle a à valeurs dans H q (k s ) tel que H ∼ =a H q . On a montré que
H 1 (k, H q ) = 1, d’où H est quasi-déployé. En particulier, H est de k-rang ≥ 2
et G de même. Comme l’atteste les tables de Tits (§9.5.2), le k-groupe G est
déployé, donc G ∼ = G . Or G = Aut(G), donc H 1 (k, G) classifie les k-formes
de G, et on conclut que [z] = 1.
Type G 2 : On suppose que G est déployé de type G 2 . L’ensemble H 1 (k, G) classifie
les k-groupes de type G 2 et les algèbres d’octonions. Une algèbre d’octonion
possède une extension quadratique étale [167, th. 1.6.2] et celle-ci la déploie. Il
suit qu’une classe de H 1 (k, G) est tuée après une extension quadratique étale.
Le Corollaire 5.5.3 permet de conclure une nouvelle fois que H 1 (k, G) = 1.
Remarque 6.2.1 Pour le cas déployé de type E 6 , une démonstration alternative en
caractéristique = 3 est de procéder comme en type E 7 en utilisant le fait qu’une
forme fortement intérieure de type E 6 contient un k-groupe de type F 4 ([178,
Lemme 1]). Il peut aussi se faire de la même façon que le cas général de type E 7 .