6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés
93
catégorie des k-groupes de type multiplicatifs, qui est duale à celle des modules
galoisiens)
Hom
R
1
k /k (G m ), R L/k (G m )
→ Ext
1
R
1
k /k (G m ), T 3
→ Ext
1
R
1
k /k (G m ), R L /k (G m )
.
On a Hom
R 1
k /k (G m ), R L/k (G m )
∼ = Hom
R 1
L /L (G m ), G m,L
= 0 et le
lemme de Shapiro montre que Ext
1
R 1
k /k (G m ), R L /k (G m )
∼ = Ext
1
G m,L ,
G m,L
= 0, d’où Ext
1
R 1
k /k (G m ), T 3
= 0. En particulier la suite exacte
1 → T 3 → T → R 1
k /k (G m ) → 1 est scindée et il en est donc de même du
morphisme M → R 1
k /k (G m ). Ainsi la condition (a) de la Proposition 5.6.1.(1)
est satisfaite et il on va vérifier la condition (b). En effet si [z] ∈ H 1 (k, M),
alors H = z (DM) est isomorphe à R L/k (SL 1 (A)) où A est une L-algèbre de
quaternions. Il vient H 1 (k, H ) ∼ = H 1 (L, SL 1 (A)) = 1. La condition (b) de la
Proposition 5.6.1.(1) est vérifiée ce qui implique H 1 (k /k, G) = 1.
Type E 6 déployé : Commençons par le cas où G est déployé. Le Corollaire 5.5.3
montre que H 1 (k /k, G) = 1 pour toute extension quadratique k /k. De la même
façon que pour le cas D 4 trialitaire cyclique, on montre que H 1 (L/k, G) = 1
pour toute extension cyclique de degré 3. Par suite, H 1 (K/k, G) = 1 pour toute
extension galoisienne résoluble K/k de degré 2 α 3 β et la Proposition 3.3.1 permet
de conclure que H 1 (k, G) = 1. On conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 6 quasi-déployé : Si G n’est pas déployé, on note k /k l’extension quadratique déployant G. Alors H 1 (k , G) = 1 d’après le cas précédent et par ailleurs
on a H 1 (k /k, G) = 1 (Cor. 5.5.3). On conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 7 , cas de caractéristique = 2: On note E 6 le k-groupe semi-simple
simplement connexe déployé de type E 6 . On dispose d’un plongement E 6 μ 4
de sorte que H 1 (k, E 6 μ 4 ) → H 1 (k, G) est surjectif [69, 12.13]. Maintenant,
pour montrer la trivialité de H 1 (k, G), le Corollaire 5.5.3 permet de supposer que
k est quadratiquement clos donc en particulier que H 1 (k, μ 4 ) = k × /(k × ) 4 = 1.
Par suite, l’application H 1 (k, E 6 ) → H 1 (k, G) est surjective. D’après le cas de
E 6 , on conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 7 , cas général: On note H le sous-groupe standard de G de type E 6 . On
suppose tout d’abord que k est p-spécial pour un premier p. Si p = 2, 3, on a
H 1 (k, G) = 1 d’après le Théorème 5.2.5. Si p = 2, on a H 1 (k, G) = 1 en
vertu du Corollaire 5.5.3 et il reste le cas p = 3. Dans ce cas, le Lemme 3.2.15
indique que l’application H 1 (k, H ) → H 1 (k, G) est surjective. Or on a montré
que H 1 (k, H ) = 1, d’où H 1 (k, G) = 1.
Passons au cas général. Soit [z] ∈ Z 1 (k, G). Alors le k-groupe G = z G se
déploie sur chaque extension de k qui est p-spéciale pour un premier p. Ainsi
il existe une famille d’extensions finies séparables k 1 , . . . , k n de k satisfaisant
p.g.c.d.([k 1 : k], . . . , [k n : k]) telles que G
k i
est déployé pour i = 1, . . . , n.
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catégorie des k-groupes de type multiplicatifs, qui est duale à celle des modules
galoisiens)
Hom
R
1
k /k (G m ), R L/k (G m )
→ Ext
1
R
1
k /k (G m ), T 3
→ Ext
1
R
1
k /k (G m ), R L /k (G m )
.
On a Hom
R 1
k /k (G m ), R L/k (G m )
∼ = Hom
R 1
L /L (G m ), G m,L
= 0 et le
lemme de Shapiro montre que Ext
1
R 1
k /k (G m ), R L /k (G m )
∼ = Ext
1
G m,L ,
G m,L
= 0, d’où Ext
1
R 1
k /k (G m ), T 3
= 0. En particulier la suite exacte
1 → T 3 → T → R 1
k /k (G m ) → 1 est scindée et il en est donc de même du
morphisme M → R 1
k /k (G m ). Ainsi la condition (a) de la Proposition 5.6.1.(1)
est satisfaite et il on va vérifier la condition (b). En effet si [z] ∈ H 1 (k, M),
alors H = z (DM) est isomorphe à R L/k (SL 1 (A)) où A est une L-algèbre de
quaternions. Il vient H 1 (k, H ) ∼ = H 1 (L, SL 1 (A)) = 1. La condition (b) de la
Proposition 5.6.1.(1) est vérifiée ce qui implique H 1 (k /k, G) = 1.
Type E 6 déployé : Commençons par le cas où G est déployé. Le Corollaire 5.5.3
montre que H 1 (k /k, G) = 1 pour toute extension quadratique k /k. De la même
façon que pour le cas D 4 trialitaire cyclique, on montre que H 1 (L/k, G) = 1
pour toute extension cyclique de degré 3. Par suite, H 1 (K/k, G) = 1 pour toute
extension galoisienne résoluble K/k de degré 2 α 3 β et la Proposition 3.3.1 permet
de conclure que H 1 (k, G) = 1. On conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 6 quasi-déployé : Si G n’est pas déployé, on note k /k l’extension quadratique déployant G. Alors H 1 (k , G) = 1 d’après le cas précédent et par ailleurs
on a H 1 (k /k, G) = 1 (Cor. 5.5.3). On conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 7 , cas de caractéristique = 2: On note E 6 le k-groupe semi-simple
simplement connexe déployé de type E 6 . On dispose d’un plongement E 6 μ 4
de sorte que H 1 (k, E 6 μ 4 ) → H 1 (k, G) est surjectif [69, 12.13]. Maintenant,
pour montrer la trivialité de H 1 (k, G), le Corollaire 5.5.3 permet de supposer que
k est quadratiquement clos donc en particulier que H 1 (k, μ 4 ) = k × /(k × ) 4 = 1.
Par suite, l’application H 1 (k, E 6 ) → H 1 (k, G) est surjective. D’après le cas de
E 6 , on conclut que H 1 (k, G) = 1.
Type E 7 , cas général: On note H le sous-groupe standard de G de type E 6 . On
suppose tout d’abord que k est p-spécial pour un premier p. Si p = 2, 3, on a
H 1 (k, G) = 1 d’après le Théorème 5.2.5. Si p = 2, on a H 1 (k, G) = 1 en
vertu du Corollaire 5.5.3 et il reste le cas p = 3. Dans ce cas, le Lemme 3.2.15
indique que l’application H 1 (k, H ) → H 1 (k, G) est surjective. Or on a montré
que H 1 (k, H ) = 1, d’où H 1 (k, G) = 1.
Passons au cas général. Soit [z] ∈ Z 1 (k, G). Alors le k-groupe G = z G se
déploie sur chaque extension de k qui est p-spéciale pour un premier p. Ainsi
il existe une famille d’extensions finies séparables k 1 , . . . , k n de k satisfaisant
p.g.c.d.([k 1 : k], . . . , [k n : k]) telles que G
k i
est déployé pour i = 1, . . . , n.