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6 Conjecture II, le cas quasi-déployé
Proposition 6.1.1 Soit G un k-groupe absolument presque simple, quasi-déployé,
simplement connexe et classique (i.e de type A, B, C, D non trialitaire). On suppose
que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On raisonne cas par cas.
Type C n : Alors G = Sp 2n et H 1 (k, Sp 2n ) = 1 [159, III.1.2].
Type A n+1 : Si G est déployé, on a H 1 (k, SL n ) = 1. Sinon il existe une
extension quadratique étale k /k qui déploie G et le Corollaire 5.5.3 montre que
H 1 (k, G) = 1.
Type D n non trialitaire: On commence par le cas où G est déployé. D’après la
Proposition 3.3.1, une classe γ ∈ H 1 (k, G) est trivialisée par une extension
multiquadratique. L’application itérée du Corollaire 5.5.3 montre que γ = 1.
Si G est quasi-déployé et non déployé, il existe une extension quadratique étale
k /k qui déploie G et le Corollaire 5.5.3 montre que H 1 (k, G) = 1.
Type B n : Idem.
6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés
Nous pouvons procéder à la démonstration du Théorème 6.0.1.
Démonstration La même réduction que dans la démonstration du Théorème 5.1.2
permet de supposer G absolument presque simple (i.e. en écrivant G comme un
produit de R k i /k (G i )). On fait alors une étude de cas. Les cas classiques sont réglés
par la Proposition 6.1.1.
Type D 4 trialitaire cyclique: Comme G L est déployé “classique”, on a H 1 (L, G) =
1, d’où H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G). D’après la
Proposition 3.2.11, le k-groupe tordu z G admet un k-tore maximal déployé T
par L/k. Le Théorème de Steinberg 5.2.3 indique qu’il existe un plongement
i : T → G de sorte que [z] ∈ Im
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G)
. Enfin le
Corollaire 5.5.2 montre que l’application H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale.
On conclut que H 1 (L/k, G) = 1.
Type D 4 trialitaire non cyclique: Le k-groupe G est quasi-déployé de type 6 D 4 et
on note k /k l’extension quadratique telle que G k soit de type quasi-déployé
3 D 4 . D’après le cas précédent, on a H 1 (k /k, G) = H 1 (k, G). Le Lemme 3.2.8
montre qu’il existe un k-tore S de G dont le centralisateur M = C G (S) est tel
que M k est un k -sous-groupe parabolique de G k de type D 4 \ {2}. Alors M k
est de type 3A 1 et d’invariant de Tits [L] ∈ H 1 (k, S 3 ). De façon plus précise,
M est une extension de R 1
k /k (G m ) par DM ∼ = R L/k (SL 1 (Q)) où Q est une Lalgèbre de quaternions déployée par L = Lk . Par suite DM admet un k-tore
maximal T 3 ∼ = R L/k (R 1
L /L (G m )) et M admet le k-tore maximal T = C M (T 3 )
qui est une extension de R 1
k /k (G m ) par T 3 . La suite exacte de k-tores 1 → T 3 →
R L /k (G m ) → R L/k (G m ) → 1 induit une suite exacte (les Ext étant pris dans la
6 Conjecture II, le cas quasi-déployé
Proposition 6.1.1 Soit G un k-groupe absolument presque simple, quasi-déployé,
simplement connexe et classique (i.e de type A, B, C, D non trialitaire). On suppose
que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors H 1 (k, G) = 1.
Démonstration On raisonne cas par cas.
Type C n : Alors G = Sp 2n et H 1 (k, Sp 2n ) = 1 [159, III.1.2].
Type A n+1 : Si G est déployé, on a H 1 (k, SL n ) = 1. Sinon il existe une
extension quadratique étale k /k qui déploie G et le Corollaire 5.5.3 montre que
H 1 (k, G) = 1.
Type D n non trialitaire: On commence par le cas où G est déployé. D’après la
Proposition 3.3.1, une classe γ ∈ H 1 (k, G) est trivialisée par une extension
multiquadratique. L’application itérée du Corollaire 5.5.3 montre que γ = 1.
Si G est quasi-déployé et non déployé, il existe une extension quadratique étale
k /k qui déploie G et le Corollaire 5.5.3 montre que H 1 (k, G) = 1.
Type B n : Idem.
6.2 Groupes exceptionnels quasi-déployés
Nous pouvons procéder à la démonstration du Théorème 6.0.1.
Démonstration La même réduction que dans la démonstration du Théorème 5.1.2
permet de supposer G absolument presque simple (i.e. en écrivant G comme un
produit de R k i /k (G i )). On fait alors une étude de cas. Les cas classiques sont réglés
par la Proposition 6.1.1.
Type D 4 trialitaire cyclique: Comme G L est déployé “classique”, on a H 1 (L, G) =
1, d’où H 1 (L/k, G) = H 1 (k, G). Soit [z] ∈ H 1 (L/k, G). D’après la
Proposition 3.2.11, le k-groupe tordu z G admet un k-tore maximal déployé T
par L/k. Le Théorème de Steinberg 5.2.3 indique qu’il existe un plongement
i : T → G de sorte que [z] ∈ Im
H 1 (k, T ) → H 1 (k, G)
. Enfin le
Corollaire 5.5.2 montre que l’application H 1 (k, T ) → H 1 (k, G) est triviale.
On conclut que H 1 (L/k, G) = 1.
Type D 4 trialitaire non cyclique: Le k-groupe G est quasi-déployé de type 6 D 4 et
on note k /k l’extension quadratique telle que G k soit de type quasi-déployé
3 D 4 . D’après le cas précédent, on a H 1 (k /k, G) = H 1 (k, G). Le Lemme 3.2.8
montre qu’il existe un k-tore S de G dont le centralisateur M = C G (S) est tel
que M k est un k -sous-groupe parabolique de G k de type D 4 \ {2}. Alors M k
est de type 3A 1 et d’invariant de Tits [L] ∈ H 1 (k, S 3 ). De façon plus précise,
M est une extension de R 1
k /k (G m ) par DM ∼ = R L/k (SL 1 (Q)) où Q est une Lalgèbre de quaternions déployée par L = Lk . Par suite DM admet un k-tore
maximal T 3 ∼ = R L/k (R 1
L /L (G m )) et M admet le k-tore maximal T = C M (T 3 )
qui est une extension de R 1
k /k (G m ) par T 3 . La suite exacte de k-tores 1 → T 3 →
R L /k (G m ) → R L/k (G m ) → 1 induit une suite exacte (les Ext étant pris dans la