Chapitre 6
Conjecture II, le cas quasi-déployé
Le but de cette section est de démontrer la conjecture II pour les groupes quasidéployés sans facteurs de type E 8 .
Théorème 6.0.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe quasidéployé sans facteurs de type E 8 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G).
Alors H 1 (k, G) = 1.
Dans la pratique, on utilise le corollaire suivant.
Corollaire 6.0.2 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe qui est une
forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée G q et sans facteurs de type
E 8 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors G est isomorphe à G q
et H 1 (k, G) = 1.
Vu que les groupes de types F 4 et G 2 sont leurs propres groupes d’automorphismes, on obtient en particulier le résultat suivant.
Corollaire 6.0.3 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe qui est de
type F 4 ou G 2 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors G est
isomorphe à sa forme déployée G 0 et H 1 (k, G) = 1.
Dans le cas parfait, ces résultats sont dus à Bayer-Fluckiger/Parimala [11].
6.1 Groupes classiques quasi-déployés
Un premier cas significatif de la conjecture II est le suivant.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_6
91
Conjecture II, le cas quasi-déployé
Le but de cette section est de démontrer la conjecture II pour les groupes quasidéployés sans facteurs de type E 8 .
Théorème 6.0.1 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe quasidéployé sans facteurs de type E 8 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G).
Alors H 1 (k, G) = 1.
Dans la pratique, on utilise le corollaire suivant.
Corollaire 6.0.2 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe qui est une
forme fortement intérieure de sa forme quasi-déployée G q et sans facteurs de type
E 8 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors G est isomorphe à G q
et H 1 (k, G) = 1.
Vu que les groupes de types F 4 et G 2 sont leurs propres groupes d’automorphismes, on obtient en particulier le résultat suivant.
Corollaire 6.0.3 Soit G un k-groupe semi-simple simplement connexe qui est de
type F 4 ou G 2 . On suppose que scd l (G) ≤ 2 pour tout l ∈ S(G). Alors G est
isomorphe à sa forme déployée G 0 et H 1 (k, G) = 1.
Dans le cas parfait, ces résultats sont dus à Bayer-Fluckiger/Parimala [11].
6.1 Groupes classiques quasi-déployés
Un premier cas significatif de la conjecture II est le suivant.
© Springer Nature Switzerland AG 2019
P. Gille, Groupes algébriques semi-simples en dimension
cohomologique ≤2, Lecture Notes in Mathematics 2238,
https://doi.org/10.1007/978-3-030-17272-5_6
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