xiv
Contents
12 Magnetoelastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Frederic Vanderveken, Florin Ciubotaru, and Christoph Adelmann
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.2 Spin Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2.1 Magnetic Interactions and Magnetization
Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2.2 Spin Waves in the Bulk Ferromagnets . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.2.3 Spin Waves in Ferromagnetic Thin Films . . . . . . . . . . . . . 294
12.3 Elastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.3.1 Elastodynamic Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.3.2 Elastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.4 Magnetoelastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.4.1 Magnetoelastic Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.4.2 Magnetoelastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.4.3 Damping of Magnetoelastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13 Theoretical Generalization of the Optical Chirality
to Arbitrary Optical Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
J. Enrique Vázquez-Lozano and Alejandro Martínez
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.2 Electromagnetic Energy Density in Dispersive and Lossy
Media: A General Approach from the Continuity Equation . . . . . 326
13.2.1 Poynting’s Theorem and Energy Density
in Non-Dispersive Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
13.2.2 Electromagnetic Energy Density in Dispersive
Media: Lossless (Brillouin’s Approach) and Lossy
(Loudon’s Approach) Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.3 Generalizing the Conservation Law for the Optical Chirality . . . . 337
13.4 Optical Chirality Density in Linear Dispersive Media . . . . . . . . . . 340
13.4.1 Optical Chirality Density in Dispersive
and Lossless Media: Brillouin’s Approach . . . . . . . . . . . . 341
13.4.2 Optical Chirality Density in Dispersive and Lossy
Media: Loudon’s Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.4.3 Brillouin’s Approach Vs Loudon’s Approach . . . . . . . . . 347
13.5 Conclusions and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14 Topology in Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
X. S. Wang and X. R. Wang
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14.2 Topological Spin Textures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
14.2.1 Domain Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
14.2.2 Vortices and Skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.2.3 Hopfions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378
Contents
12 Magnetoelastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
Frederic Vanderveken, Florin Ciubotaru, and Christoph Adelmann
12.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287
12.2 Spin Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2.1 Magnetic Interactions and Magnetization
Dynamics . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 289
12.2.2 Spin Waves in the Bulk Ferromagnets . . . . . . . . . . . . . . . . 292
12.2.3 Spin Waves in Ferromagnetic Thin Films . . . . . . . . . . . . . 294
12.3 Elastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.3.1 Elastodynamic Equations of Motion . . . . . . . . . . . . . . . . . 299
12.3.2 Elastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301
12.4 Magnetoelastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.4.1 Magnetoelastic Interactions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303
12.4.2 Magnetoelastic Waves in Thin Films . . . . . . . . . . . . . . . . . 305
12.4.3 Damping of Magnetoelastic Waves . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318
12.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 319
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
13 Theoretical Generalization of the Optical Chirality
to Arbitrary Optical Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
J. Enrique Vázquez-Lozano and Alejandro Martínez
13.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323
13.2 Electromagnetic Energy Density in Dispersive and Lossy
Media: A General Approach from the Continuity Equation . . . . . 326
13.2.1 Poynting’s Theorem and Energy Density
in Non-Dispersive Media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326
13.2.2 Electromagnetic Energy Density in Dispersive
Media: Lossless (Brillouin’s Approach) and Lossy
(Loudon’s Approach) Cases . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
13.3 Generalizing the Conservation Law for the Optical Chirality . . . . 337
13.4 Optical Chirality Density in Linear Dispersive Media . . . . . . . . . . 340
13.4.1 Optical Chirality Density in Dispersive
and Lossless Media: Brillouin’s Approach . . . . . . . . . . . . 341
13.4.2 Optical Chirality Density in Dispersive and Lossy
Media: Loudon’s Approach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344
13.4.3 Brillouin’s Approach Vs Loudon’s Approach . . . . . . . . . 347
13.5 Conclusions and Outlook . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 350
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351
14 Topology in Magnetism . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
X. S. Wang and X. R. Wang
14.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 357
14.2 Topological Spin Textures . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
14.2.1 Domain Walls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360
14.2.2 Vortices and Skyrmions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 369
14.2.3 Hopfions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 378