TS I.86
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
f → f ∗ dans l’algèbre O(S). On a en particulier :
(f + g)
∗ = f
∗ + g
∗
(f g)
∗ = f
∗ g
∗
(λf )
∗ = λf
∗
pour f, g dans O(S) et λ dans C.
On note O R (S) l’ensemble des germes f ∈ O(S) tels que f = f ∗ .
C’est une sous-R-algèbre fermée pleine de O(S).
Proposition 19. — Notons z le germe dans O(S) de l’application
identique de C. Alors O R (S) est la plus petite sous-R-algèbre fermée
pleine de O(S) contenant z.
On a z ∗ = z, donc z appartient à O R (S). Soit B une sous-R-algèbre
fermée pleine de O(S) contenant z. L’application f → f + f ∗ de O(S)
dans O R (S) est continue et surjective, et l’ensemble des germes de fonctions rationnelles holomorphes au voisinage de S est dense dans O(S)
(th. 3 de I, p. 69). Pour démontrer que B contient O R (S), il suffit donc
de démontrer que si f est le germe d’une telle fonction rationnelle, on
a f + f ∗ ∈ B.
Il existe des polynômes P et Q dans C[X] tels que Q ne s’annule
en aucun point de S et que l’on ait f =
P(z)
Q(z) . Notons P ∗ et Q ∗ les
polynômes obtenus en remplaçant les coefficients de P et Q par leurs
conjugués. On a alors P(z) ∗ = P ∗ (z) et Q(z) ∗ = Q ∗ (z). Comme S est
stable par la conjugaison complexe, le polynôme Q ∗ ne s’annule en
aucun point de S. Les germes Q ∗ (z) et (QQ ∗ )(z) sont donc inversibles
dans O(S), et
f + f
∗ =
P(z)
Q(z)
+
P ∗ (z)
Q ∗ (z)
=
(PQ ∗ + P ∗ Q)(z)
(QQ ∗ )(z)
.
Comme les polynômes PQ ∗ + P ∗ Q et QQ ∗ sont à coefficients réels et
que B est une sous-R-algèbre pleine de O(S) contenant z, l’élément
f + f ∗ appartient à B. Cela conclut la preuve de la proposition.
Soit A une algèbre unifère normable complète sur R. Soit x un
élément de A. Le spectre de l’élément 1⊗x de l’algèbre A (C) est appelé
le spectre complexe de x, et il est noté Sp A (C) (x). Son intersection
avec l’ensemble R n’est autre que le spectre Sp A (x) de x relativement
à A, que l’on appelle parfois le spectre réel de x. Le spectre complexe
Sp A (C) (x) est une partie compacte de C, stable par la conjugaison
complexe. Il n’est pas vide lorsque l’algèbre A n’est pas réduite à 0.
Soit x un élément de A. Le rayon spectral de 1 ⊗ x ∈ A (C) est égal
au rayon spectral (x) de x. C’est le plus petit nombre réel r 0 tel
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
f → f ∗ dans l’algèbre O(S). On a en particulier :
(f + g)
∗ = f
∗ + g
∗
(f g)
∗ = f
∗ g
∗
(λf )
∗ = λf
∗
pour f, g dans O(S) et λ dans C.
On note O R (S) l’ensemble des germes f ∈ O(S) tels que f = f ∗ .
C’est une sous-R-algèbre fermée pleine de O(S).
Proposition 19. — Notons z le germe dans O(S) de l’application
identique de C. Alors O R (S) est la plus petite sous-R-algèbre fermée
pleine de O(S) contenant z.
On a z ∗ = z, donc z appartient à O R (S). Soit B une sous-R-algèbre
fermée pleine de O(S) contenant z. L’application f → f + f ∗ de O(S)
dans O R (S) est continue et surjective, et l’ensemble des germes de fonctions rationnelles holomorphes au voisinage de S est dense dans O(S)
(th. 3 de I, p. 69). Pour démontrer que B contient O R (S), il suffit donc
de démontrer que si f est le germe d’une telle fonction rationnelle, on
a f + f ∗ ∈ B.
Il existe des polynômes P et Q dans C[X] tels que Q ne s’annule
en aucun point de S et que l’on ait f =
P(z)
Q(z) . Notons P ∗ et Q ∗ les
polynômes obtenus en remplaçant les coefficients de P et Q par leurs
conjugués. On a alors P(z) ∗ = P ∗ (z) et Q(z) ∗ = Q ∗ (z). Comme S est
stable par la conjugaison complexe, le polynôme Q ∗ ne s’annule en
aucun point de S. Les germes Q ∗ (z) et (QQ ∗ )(z) sont donc inversibles
dans O(S), et
f + f
∗ =
P(z)
Q(z)
+
P ∗ (z)
Q ∗ (z)
=
(PQ ∗ + P ∗ Q)(z)
(QQ ∗ )(z)
.
Comme les polynômes PQ ∗ + P ∗ Q et QQ ∗ sont à coefficients réels et
que B est une sous-R-algèbre pleine de O(S) contenant z, l’élément
f + f ∗ appartient à B. Cela conclut la preuve de la proposition.
Soit A une algèbre unifère normable complète sur R. Soit x un
élément de A. Le spectre de l’élément 1⊗x de l’algèbre A (C) est appelé
le spectre complexe de x, et il est noté Sp A (C) (x). Son intersection
avec l’ensemble R n’est autre que le spectre Sp A (x) de x relativement
à A, que l’on appelle parfois le spectre réel de x. Le spectre complexe
Sp A (C) (x) est une partie compacte de C, stable par la conjugaison
complexe. Il n’est pas vide lorsque l’algèbre A n’est pas réduite à 0.
Soit x un élément de A. Le rayon spectral de 1 ⊗ x ∈ A (C) est égal
au rayon spectral (x) de x. C’est le plus petit nombre réel r 0 tel