N
o 13 CALCUL FONCTIONNEL DANS UNE ALGÈBRE COMPLÈTE TS I.87
que |λ| r pour tout λ ∈ Sp A (C) (x). On a
횿(x) = lim
n→+∞
횿x
n 횿
1/n = inf
n>0
횿x
n 횿
1/n
pour toute norme sur A qui définit la topologie de A. En effet, on peut
supposer que la norme sur A est la restriction d’une norme sur A (C)
qui définit la topologie de A (C) et appliquer la prop. 1 de I, p. 20.
Notons u → u l’endomorphisme de la R-algèbre A (C) qui applique
λ ⊗ a sur λ ⊗ a. Il est continu.
Lemme. — Pour tout f ∈ O(Sp A (C) (x)), on a f ∗ (1 ⊗ x) = f (1 ⊗ x).
Les applications f → f (1 ⊗ x) et f → f ∗ (1 ⊗ x) sont des homomorphismes unifères continus de C-algèbres de O(Sp(x)) dans A (C) qui
appliquent z sur 1 ⊗ x ; elles sont donc égales (I, p. 74, th. 5).
Proposition 20. — Pour tout f ∈ O R (Sp A (C) (x)), il existe un unique
élément f (x) de A tel que f (1 ⊗ x) = 1 ⊗ f (x) dans A (C) . L’application f → f (x) de O R (Sp A (C) (x)) dans A est l’unique homomorphisme unifère continu de R-algèbres qui applique sur x le germe dans
O R (Sp A (C) (x)) de l’application identique de C.
Notons S = Sp A (C) (x). D’après le lemme ci-dessus, pour tout germe
f ∈ O R (Sp(x)), on a f (1 ⊗ x) = f (1 ⊗ x). La première assertion en
résulte. Notons z le germe dans O R (S) de l’application identique de C.
L’application f → f (x) est un homomorphisme continu unifère de
la R-algèbre O R (Sp(x)) dans A, qui applique z sur x. C’est le seul
d’après la prop. 19, puisque tout morphisme ayant ces propriétés est
déterminé de manière unique sur toute sous-R-algèbre fermée pleine
de O(S) contenant z.
Soit f ∈ O R (Sp A (C) (x)). L’élément f (x) appartient à toute sousalgèbre fermée pleine de A contenant x (prop. 19), donc appartient
au bicommutant de x dans A. Le spectre complexe de f (x) est égal
à f (Sp(x)) (I, p. 75, prop. 8). Pour tout g ∈ O R (f (Sp A (C) (x))), on a
g ◦ f ∈ O R (Sp A (C) (x)) et (loc. cit.) (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Soit U une partie ouverte de C, stable par la conjugaison complexe.
L’ensemble Ω des éléments x de A dont le spectre complexe est contenu
dans U est ouvert dans A (I, p. 76, prop. 10). Soit f une fonction
holomorphe sur U telle que f ∗ = f . L’application x → f (x) de Ω
dans A est analytique (loc. cit.).
o 13 CALCUL FONCTIONNEL DANS UNE ALGÈBRE COMPLÈTE TS I.87
que |λ| r pour tout λ ∈ Sp A (C) (x). On a
횿(x) = lim
n→+∞
횿x
n 횿
1/n = inf
n>0
횿x
n 횿
1/n
pour toute norme sur A qui définit la topologie de A. En effet, on peut
supposer que la norme sur A est la restriction d’une norme sur A (C)
qui définit la topologie de A (C) et appliquer la prop. 1 de I, p. 20.
Notons u → u l’endomorphisme de la R-algèbre A (C) qui applique
λ ⊗ a sur λ ⊗ a. Il est continu.
Lemme. — Pour tout f ∈ O(Sp A (C) (x)), on a f ∗ (1 ⊗ x) = f (1 ⊗ x).
Les applications f → f (1 ⊗ x) et f → f ∗ (1 ⊗ x) sont des homomorphismes unifères continus de C-algèbres de O(Sp(x)) dans A (C) qui
appliquent z sur 1 ⊗ x ; elles sont donc égales (I, p. 74, th. 5).
Proposition 20. — Pour tout f ∈ O R (Sp A (C) (x)), il existe un unique
élément f (x) de A tel que f (1 ⊗ x) = 1 ⊗ f (x) dans A (C) . L’application f → f (x) de O R (Sp A (C) (x)) dans A est l’unique homomorphisme unifère continu de R-algèbres qui applique sur x le germe dans
O R (Sp A (C) (x)) de l’application identique de C.
Notons S = Sp A (C) (x). D’après le lemme ci-dessus, pour tout germe
f ∈ O R (Sp(x)), on a f (1 ⊗ x) = f (1 ⊗ x). La première assertion en
résulte. Notons z le germe dans O R (S) de l’application identique de C.
L’application f → f (x) est un homomorphisme continu unifère de
la R-algèbre O R (Sp(x)) dans A, qui applique z sur x. C’est le seul
d’après la prop. 19, puisque tout morphisme ayant ces propriétés est
déterminé de manière unique sur toute sous-R-algèbre fermée pleine
de O(S) contenant z.
Soit f ∈ O R (Sp A (C) (x)). L’élément f (x) appartient à toute sousalgèbre fermée pleine de A contenant x (prop. 19), donc appartient
au bicommutant de x dans A. Le spectre complexe de f (x) est égal
à f (Sp(x)) (I, p. 75, prop. 8). Pour tout g ∈ O R (f (Sp A (C) (x))), on a
g ◦ f ∈ O R (Sp A (C) (x)) et (loc. cit.) (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Soit U une partie ouverte de C, stable par la conjugaison complexe.
L’ensemble Ω des éléments x de A dont le spectre complexe est contenu
dans U est ouvert dans A (I, p. 76, prop. 10). Soit f une fonction
holomorphe sur U telle que f ∗ = f . L’application x → f (x) de Ω
dans A est analytique (loc. cit.).