TS I.88
CALCUL FONCTIONNEL HOLOMORPHE
§ 4
Soient A, B des algèbres associatives unifères normables complètes
sur R et ϕ : A → B un morphisme d’algèbres unifère continu. Soit
x ∈ A. Le spectre complexe de ϕ(x) est contenu dans celui de x et,
pour tout f ∈ O R (Sp A (C) (x)), on a f (ϕ(x)) = ϕ(f (x)). Cela résulte
aussitôt de l’énoncé analogue dans le cas complexe (I, p. 75, prop. 8).
14. Cas d’une algèbre sans élément unité
Soit A une algèbre normable complète non nécessairement unifère
sur K = R ou C. Notons (
A, e) l’algèbre unifère déduite de A par
adjonction d’un élément unité. Elle est normable et complète.
Soit x un élément de A. Si K = C, notons Sp
(x) = Sp
A
(x) le
spectre de x relativement à
A, et considérons un germe f ∈ O(Sp
(x)).
Si K = R, notons Sp
(x) le spectre complexe de l’élément x de
A, et
considérons un germe f ∈ O R (Sp
(x)). Dans ces deux cas, 0 appartient
à Sp
(x), et l’élément f (x) de
A appartient à A si et seulement si f
vérifie f (0) = 0. En effet, la projection π :
A → Ke est un morphisme
continu dont le noyau est A, et l’on a π(f (x)) = f (π(x)) = f (0).
§ 5. ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES
RÉGULIÈRES
Dans cette section, le corps de base est C.
1. Définition
Proposition 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Les
conditions suivantes sont équivalentes :
(i) La topologie faible et la topologie de Jacobson sur X(A) coïncident ;
(ii) Pour tout χ ∈ X(A) et toute partie faiblement fermée F de
X(A) telle que χ ∈ F, il existe un x ∈ A tel que G (x) soit égale à 1
en χ et à 0 sur F ;