N
o 1
DÉFINITION
TS I.89
(iii) Pour toute partie faiblement compacte K et toute partie faiblement fermée F de X(A) telles que K ∩ F = ∅, il existe un élément
x ∈ A tel que G (x) soit égale à 1 sur K et à 0 sur F.
Soit M ⊂ X(A). Dire que M est fermé pour la topologie de Jacobson
signifie que, pour tout χ ∈ X(A) M, il existe un x ∈ A tel que G (x)
s’annule sur M mais pas en χ (lemme 2 de I, p. 39). La condition (ii)
signifie donc que toute partie de X(A) faiblement fermée est fermée
pour la topologie de Jacobson, ce qui montre que (ii) =⇒ (i). Par
ailleurs (iii) =⇒ (ii) puisque la partie {χ} est faiblement compacte
dans X(A). Enfin (i) =⇒ (iii) d’après le cor. de la prop. 15 de I, p. 81.
Définition 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Elle
est dite régulière si elle vérifie les conditions équivalentes de la proposition 1.
Remarque. — Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction
d’un élément unité e. La condition (ii) de la prop. 1 montre que si
A est régulière, alors A est régulière. Supposons A régulière et montrons que
A est régulière. Considérons des parties F et F de X(
A) qui
sont disjointes et faiblement fermées (donc faiblement compactes) et
construisons un x ∈
A tel que G (x) s’annule sur F, et soit égale à 1
sur F . Soit χ 0 ∈ X(
A) le caractère nul sur A. Si χ 0 ∈ F , il existe,
d’après la condition (iii) de la prop. 1 et l’hypothèse sur A, un élément
x ∈ A tel que G (x) s’annule sur F et soit égale à 1 sur F . Si χ 0 ∈ F ,
on a χ 0 ∈ F ; il existe donc un élément y ∈ A tel que G (y) s’annule
sur F et soit égale à 1 sur F. L’élément x = e − y de
A a alors la
propriété demandée.
Exemples. — Reprenons les exemples du n
o 2 de I, p. 17.
L’algèbre des fonctions continues à valeurs complexes tendant vers 0
à l’infini sur un espace localement compact X (exemple 3 de I, p. 17)
est régulière (cf. I, p. 36, exemple 1).
L’algèbre des fonctions n fois dérivables sur [0, 1] (exemple 4 de I,
p. 18) est régulière (cf. I, p. 36, exemple 2).
Si G est un groupe localement compact commutatif et µ une mesure
de Haar sur G, alors l’algèbre L 1 (G, µ) (exemple 7 de I, p. 19) est
régulière (cf. II, p. 219, cor. 2).
o 1
DÉFINITION
TS I.89
(iii) Pour toute partie faiblement compacte K et toute partie faiblement fermée F de X(A) telles que K ∩ F = ∅, il existe un élément
x ∈ A tel que G (x) soit égale à 1 sur K et à 0 sur F.
Soit M ⊂ X(A). Dire que M est fermé pour la topologie de Jacobson
signifie que, pour tout χ ∈ X(A) M, il existe un x ∈ A tel que G (x)
s’annule sur M mais pas en χ (lemme 2 de I, p. 39). La condition (ii)
signifie donc que toute partie de X(A) faiblement fermée est fermée
pour la topologie de Jacobson, ce qui montre que (ii) =⇒ (i). Par
ailleurs (iii) =⇒ (ii) puisque la partie {χ} est faiblement compacte
dans X(A). Enfin (i) =⇒ (iii) d’après le cor. de la prop. 15 de I, p. 81.
Définition 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative. Elle
est dite régulière si elle vérifie les conditions équivalentes de la proposition 1.
Remarque. — Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction
d’un élément unité e. La condition (ii) de la prop. 1 montre que si
A est régulière, alors A est régulière. Supposons A régulière et montrons que
A est régulière. Considérons des parties F et F de X(
A) qui
sont disjointes et faiblement fermées (donc faiblement compactes) et
construisons un x ∈
A tel que G (x) s’annule sur F, et soit égale à 1
sur F . Soit χ 0 ∈ X(
A) le caractère nul sur A. Si χ 0 ∈ F , il existe,
d’après la condition (iii) de la prop. 1 et l’hypothèse sur A, un élément
x ∈ A tel que G (x) s’annule sur F et soit égale à 1 sur F . Si χ 0 ∈ F ,
on a χ 0 ∈ F ; il existe donc un élément y ∈ A tel que G (y) s’annule
sur F et soit égale à 1 sur F. L’élément x = e − y de
A a alors la
propriété demandée.
Exemples. — Reprenons les exemples du n
o 2 de I, p. 17.
L’algèbre des fonctions continues à valeurs complexes tendant vers 0
à l’infini sur un espace localement compact X (exemple 3 de I, p. 17)
est régulière (cf. I, p. 36, exemple 1).
L’algèbre des fonctions n fois dérivables sur [0, 1] (exemple 4 de I,
p. 18) est régulière (cf. I, p. 36, exemple 2).
Si G est un groupe localement compact commutatif et µ une mesure
de Haar sur G, alors l’algèbre L 1 (G, µ) (exemple 7 de I, p. 19) est
régulière (cf. II, p. 219, cor. 2).