TS I.90
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
L’algèbre des fonctions qui sont continues dans le disque |z| 1 et
analytiques à l’intérieur (exemple 9 de I, p. 20) n’est pas régulière (cf.
I, p. 193, exerc. 6).
Proposition 2. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière. Soient n 1 un entier et (U 1 , . . . , U n ) un recouvrement
ouvert de X(A). Il existe des éléments x 1 , . . . , x n de A de somme 1 tels
que Supp(G (x i )) ⊂ U i pour i = 1, . . . , n.
Démontrons la proposition par récurrence sur n. L’assertion est valide si n = 1. Supposons que n 2 et que l’assertion est établie pour
n − 1.
Il existe un recouvrement ouvert (V 1 , . . . , V n ) de X(A) tel que V i ⊂
U i pour tout i. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des éléments
x, x 3 , . . . , x n ∈ A tels que x+x 3 +· · ·+x n = 1 et Supp(G (x)) ⊂ V 1 ∪ V 2 ,
Supp(G (x i )) ⊂ V i pour i 3. Notons K = Supp(G (x)) ⊂ V 1 ∪V 2 . Soit
K 1 (resp. K 2 ) l’ensemble des éléments de K qui n’appartiennent pas
à V 1 (resp. V 2 ). Alors K 1 et K 2 sont des parties compactes disjointes
de K. Puisque l’algèbre de Banach A est régulière, il existe donc y ∈ A
tel que G (y) = 1 sur K 1 et G (y) = 0 sur K 2 . Alors G (xy) est nulle sur
X(A) K et sur K 2 , donc Supp G (xy) ⊂ V 2 ⊂ U 2 . De même, G (x(1−y))
est nulle sur X(A) K et sur K 1 , donc Supp G (x(1 − y)) ⊂ V 1 ⊂ U 1 .
Les éléments x 1 = x(1 − y), x 2 = xy, et x 3 , . . . , x n vérifient alors les
propriétés de la proposition.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière, soit I un idéal de A et soit f : X(A) → C une fonction
continue. On suppose que, pour tout χ ∈ X(A), il existe un élément
y χ ∈ I tel que f = G (y χ ) au voisinage de χ. Alors il existe un élément
y ∈ I tel que f = G (y).
Comme X(A) est compact, il existe un recouvrement ouvert fini
(U 1 , . . . , U n ) de X(A), et des éléments y 1 , . . . , y n de I tels que f = G (y i )
sur U i . D’après la prop. 2, il existe des éléments x 1 , . . . , x n de A de
somme 1 tels que Supp(G (x i )) ⊂ U i pour tout i. Soit y = x 1 y 1 + · · · +
x n y n . C’est un élément de I qui a la propriété demandée. En effet, soit
χ ∈ X(A). Pour 1 i n, on a G (x i )(χ)G (y i )(χ) = G (x i )(χ)f (χ)
puisque G (y i )(χ) = f (χ) si χ ∈ U i , et G (x i )(χ) = 0 si χ /
∈ U i . Il vient
donc
G (y)(χ) =
n
i=1
G (x i )(χ)G (y i )(χ) = f (χ)
n
i=1
G (x i )(χ) = f (χ).
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
L’algèbre des fonctions qui sont continues dans le disque |z| 1 et
analytiques à l’intérieur (exemple 9 de I, p. 20) n’est pas régulière (cf.
I, p. 193, exerc. 6).
Proposition 2. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière. Soient n 1 un entier et (U 1 , . . . , U n ) un recouvrement
ouvert de X(A). Il existe des éléments x 1 , . . . , x n de A de somme 1 tels
que Supp(G (x i )) ⊂ U i pour i = 1, . . . , n.
Démontrons la proposition par récurrence sur n. L’assertion est valide si n = 1. Supposons que n 2 et que l’assertion est établie pour
n − 1.
Il existe un recouvrement ouvert (V 1 , . . . , V n ) de X(A) tel que V i ⊂
U i pour tout i. D’après l’hypothèse de récurrence, il existe des éléments
x, x 3 , . . . , x n ∈ A tels que x+x 3 +· · ·+x n = 1 et Supp(G (x)) ⊂ V 1 ∪ V 2 ,
Supp(G (x i )) ⊂ V i pour i 3. Notons K = Supp(G (x)) ⊂ V 1 ∪V 2 . Soit
K 1 (resp. K 2 ) l’ensemble des éléments de K qui n’appartiennent pas
à V 1 (resp. V 2 ). Alors K 1 et K 2 sont des parties compactes disjointes
de K. Puisque l’algèbre de Banach A est régulière, il existe donc y ∈ A
tel que G (y) = 1 sur K 1 et G (y) = 0 sur K 2 . Alors G (xy) est nulle sur
X(A) K et sur K 2 , donc Supp G (xy) ⊂ V 2 ⊂ U 2 . De même, G (x(1−y))
est nulle sur X(A) K et sur K 1 , donc Supp G (x(1 − y)) ⊂ V 1 ⊂ U 1 .
Les éléments x 1 = x(1 − y), x 2 = xy, et x 3 , . . . , x n vérifient alors les
propriétés de la proposition.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre de Banach unifère commutative régulière, soit I un idéal de A et soit f : X(A) → C une fonction
continue. On suppose que, pour tout χ ∈ X(A), il existe un élément
y χ ∈ I tel que f = G (y χ ) au voisinage de χ. Alors il existe un élément
y ∈ I tel que f = G (y).
Comme X(A) est compact, il existe un recouvrement ouvert fini
(U 1 , . . . , U n ) de X(A), et des éléments y 1 , . . . , y n de I tels que f = G (y i )
sur U i . D’après la prop. 2, il existe des éléments x 1 , . . . , x n de A de
somme 1 tels que Supp(G (x i )) ⊂ U i pour tout i. Soit y = x 1 y 1 + · · · +
x n y n . C’est un élément de I qui a la propriété demandée. En effet, soit
χ ∈ X(A). Pour 1 i n, on a G (x i )(χ)G (y i )(χ) = G (x i )(χ)f (χ)
puisque G (y i )(χ) = f (χ) si χ ∈ U i , et G (x i )(χ) = 0 si χ /
∈ U i . Il vient
donc
G (y)(χ) =
n
i=1
G (x i )(χ)G (y i )(χ) = f (χ)
n
i=1
G (x i )(χ) = f (χ).