N
o 2
SYNTHÈSE HARMONIQUE
TS I.91
Corollaire 2. — Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et f : X (A) → C une fonction continue. On
suppose que, pour tout χ ∈ X (A), il existe un élément y χ ∈ I tel que
f = G (y χ ) au voisinage de χ. Alors il existe un élément y ∈ I tel que
f = G (y).
Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un élément
unité. Alors
A est régulière (remarque 1), et X (A) = X(
A) ; il suffit
donc d’appliquer le cor. 1 à
A et à l’idéal I.
Si I est un idéal d’une algèbre de Banach commutative, rappelons
(cf. I, p. 30) que nous notons V(I) l’ensemble des χ ∈ X(A) dont le
noyau contient I, autrement dit l’ensemble des χ ∈ X(A) où s’annulent
toutes les fonctions G (x) pour x ∈ I. C’est une partie de X(A) fermée
pour la topologie de Jacobson.
Proposition 3. — Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et K une partie de X(A) compacte et disjointe
de V(I). Il existe un élément x ∈ I tel que G (x) = 1 pour tout x dans K.
C’est un cas particulier de la prop. 15 de I, p. 81 compte tenu du fait
que la topologie de Jacobson coïncide avec la topologie faible sur X(A).
2. Synthèse harmonique
Soit A une algèbre de Banach commutative. Rappelons que si M est
une partie de X(A), nous notons Υ(M) l’intersection des noyaux des
éléments de M (cf. I, p. 30) ; c’est un idéal de A.
Proposition 4. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit F une partie fermée de X(A). L’ensemble des
idéaux I de A tels que V(I) = F, ordonné par l’inclusion, admet un
plus grand élément, à savoir Υ(F), et un plus petit élément, à savoir
l’ensemble J des x ∈ A tels que G (x) soit à support compact disjoint
de F.
Par construction, Υ(F) est un idéal de A tel que V(Υ(F)) contient F,
et c’est le plus grand idéal de A ayant cette propriété. Puisque F est
fermé, il existe un idéal I de A tel que V(I) = F ; on a donc I ⊂ Υ(F),
d’où V(Υ(F)) ⊂ V(I) = F, si bien que V(Υ(F)) = F. Cela prouve la
première assertion.
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SYNTHÈSE HARMONIQUE
TS I.91
Corollaire 2. — Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et f : X (A) → C une fonction continue. On
suppose que, pour tout χ ∈ X (A), il existe un élément y χ ∈ I tel que
f = G (y χ ) au voisinage de χ. Alors il existe un élément y ∈ I tel que
f = G (y).
Soit
A l’algèbre de Banach déduite de A par adjonction d’un élément
unité. Alors
A est régulière (remarque 1), et X (A) = X(
A) ; il suffit
donc d’appliquer le cor. 1 à
A et à l’idéal I.
Si I est un idéal d’une algèbre de Banach commutative, rappelons
(cf. I, p. 30) que nous notons V(I) l’ensemble des χ ∈ X(A) dont le
noyau contient I, autrement dit l’ensemble des χ ∈ X(A) où s’annulent
toutes les fonctions G (x) pour x ∈ I. C’est une partie de X(A) fermée
pour la topologie de Jacobson.
Proposition 3. — Soient A une algèbre de Banach commutative régulière, I un idéal de A et K une partie de X(A) compacte et disjointe
de V(I). Il existe un élément x ∈ I tel que G (x) = 1 pour tout x dans K.
C’est un cas particulier de la prop. 15 de I, p. 81 compte tenu du fait
que la topologie de Jacobson coïncide avec la topologie faible sur X(A).
2. Synthèse harmonique
Soit A une algèbre de Banach commutative. Rappelons que si M est
une partie de X(A), nous notons Υ(M) l’intersection des noyaux des
éléments de M (cf. I, p. 30) ; c’est un idéal de A.
Proposition 4. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit F une partie fermée de X(A). L’ensemble des
idéaux I de A tels que V(I) = F, ordonné par l’inclusion, admet un
plus grand élément, à savoir Υ(F), et un plus petit élément, à savoir
l’ensemble J des x ∈ A tels que G (x) soit à support compact disjoint
de F.
Par construction, Υ(F) est un idéal de A tel que V(Υ(F)) contient F,
et c’est le plus grand idéal de A ayant cette propriété. Puisque F est
fermé, il existe un idéal I de A tel que V(I) = F ; on a donc I ⊂ Υ(F),
d’où V(Υ(F)) ⊂ V(I) = F, si bien que V(Υ(F)) = F. Cela prouve la
première assertion.