TS I.92
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
L’ensemble J est un idéal de A et V(J) contient F. Montrons que
V(J) = F. Soit χ ∈ X(A) n’appartenant pas à F. Soit U un voisinage
compact de χ ne rencontrant pas F (TG, I, p. 65, cor. de la prop. 9).
D’après l’assertion (ii) de la prop. 1 de I, p. 88, il existe x ∈ A tel que
G (x) soit égale à 1 en χ et à 0 hors de U. On a alors x ∈ J et donc
χ ∈ V(J). Cela montre que V(J) ⊂ F et donc V(J) = F.
Enfin, soit I un idéal de A tel que V(I) = F. Montrons que J ⊂ I. Soit
x ∈ J et soit C le support de G (x) ; la partie C est une partie compacte
de X(A) disjointe de F. D’après la prop. 3, il existe un élément u ∈ I
tel que G (u) = 1 sur C. On a alors G (x) = G (ux), et donc x = ux
puisque A est sans radical (prop. 8 de I, p. 38). Par conséquent, on a
x ∈ I, ce qui montre que J ⊂ I.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit J l’ensemble des x ∈ A tels que G (x) soit à
support compact. On suppose que J = A. Alors tout idéal fermé de A
et distinct de A est contenu dans un idéal maximal régulier.
Si I est un idéal fermé de A qui n’est contenu dans aucun idéal
maximal régulier, alors V(I) = ∅, donc I ⊃ J (prop. 4 appliquée à F =
∅), d’où I ⊃ J = A.
Corollaire 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soient x, y ∈ A. Si le support de G (x) est compact et
contenu dans l’ensemble des caractères χ tels que G (y)(χ) = 0, alors
x est un multiple de y dans A.
Soit I l’idéal Ay de A. Alors V(I) est l’ensemble des zéros de G (y).
Puisque le support F de G (x) est compact et disjoint de V(I), on a
x ∈ I (prop. 4 appliquée à F).
Définition 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
Soient I un idéal de A, x ∈ A, et χ ∈ X (A). On dit que x appartient
à I au voisinage de χ s’il existe un élément y ∈ I tel que G (y) et G (x)
coïncident au voisinage de χ.
On dit que A vérifie la condition de Ditkin si, pour tout χ ∈ X (A) et
tout x ∈ A tel que G (x) s’annule en χ, il existe une suite (x n ) dans A
telle que x = lim
n→∞
x n x et telle que chaque G (x n ) s’annule dans un
voisinage V n de χ.
Remarques. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
L’ensemble J est un idéal de A et V(J) contient F. Montrons que
V(J) = F. Soit χ ∈ X(A) n’appartenant pas à F. Soit U un voisinage
compact de χ ne rencontrant pas F (TG, I, p. 65, cor. de la prop. 9).
D’après l’assertion (ii) de la prop. 1 de I, p. 88, il existe x ∈ A tel que
G (x) soit égale à 1 en χ et à 0 hors de U. On a alors x ∈ J et donc
χ ∈ V(J). Cela montre que V(J) ⊂ F et donc V(J) = F.
Enfin, soit I un idéal de A tel que V(I) = F. Montrons que J ⊂ I. Soit
x ∈ J et soit C le support de G (x) ; la partie C est une partie compacte
de X(A) disjointe de F. D’après la prop. 3, il existe un élément u ∈ I
tel que G (u) = 1 sur C. On a alors G (x) = G (ux), et donc x = ux
puisque A est sans radical (prop. 8 de I, p. 38). Par conséquent, on a
x ∈ I, ce qui montre que J ⊂ I.
Corollaire 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soit J l’ensemble des x ∈ A tels que G (x) soit à
support compact. On suppose que J = A. Alors tout idéal fermé de A
et distinct de A est contenu dans un idéal maximal régulier.
Si I est un idéal fermé de A qui n’est contenu dans aucun idéal
maximal régulier, alors V(I) = ∅, donc I ⊃ J (prop. 4 appliquée à F =
∅), d’où I ⊃ J = A.
Corollaire 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical. Soient x, y ∈ A. Si le support de G (x) est compact et
contenu dans l’ensemble des caractères χ tels que G (y)(χ) = 0, alors
x est un multiple de y dans A.
Soit I l’idéal Ay de A. Alors V(I) est l’ensemble des zéros de G (y).
Puisque le support F de G (x) est compact et disjoint de V(I), on a
x ∈ I (prop. 4 appliquée à F).
Définition 2. — Soit A une algèbre de Banach commutative.
Soient I un idéal de A, x ∈ A, et χ ∈ X (A). On dit que x appartient
à I au voisinage de χ s’il existe un élément y ∈ I tel que G (y) et G (x)
coïncident au voisinage de χ.
On dit que A vérifie la condition de Ditkin si, pour tout χ ∈ X (A) et
tout x ∈ A tel que G (x) s’annule en χ, il existe une suite (x n ) dans A
telle que x = lim
n→∞
x n x et telle que chaque G (x n ) s’annule dans un
voisinage V n de χ.
Remarques. — Soit A une algèbre de Banach commutative.