N
o 2
SYNTHÈSE HARMONIQUE
TS I.93
1) Si χ est tel que G (x) s’annule au voisinage de χ, alors x appartient à I au voisinage de χ.
2) Si x appartient à I au voisinage de χ et y ∈ A est un élément
quelconque, alors xy appartient à I au voisinage de χ.
3) L’ensemble des χ tels que x appartient à I au voisinage de χ est
ouvert dans X (A).
4) Supposons que A est régulière et sans radical. Si x appartient à I
au voisinage de χ pour tout χ ∈ X (A), alors x appartient à I (cor. 2
de I, p. 91 appliqué à la fonction f = G (x) et prop. 8 de I, p. 38).
5) Supposons que A est régulière. Soient I un idéal de A et χ un
élément de X(A) tel que χ ∈ V(I). Alors tout élément x de A appartient
à I au voisinage de χ. En effet, d’après la déf. 1 de I, p. 89, il existe
un z ∈ A tel que G (z) soit égale à 1 au voisinage de χ, et égale à 0
au voisinage de V(I). Le support de G (z) est compact et donc on a
z ∈ I (prop. 4 appliquée à V(I)), donc xz ∈ I, et G (xz) = G (x) au
voisinage de χ.
Rappelons qu’un sous-espace K d’un espace topologique X est dit
parfait s’il est fermé sans point isolé (TG, I, p. 8).
Lemme 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans
radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soient I un idéal fermé de A
et x un élément de Υ(V(I)). Soit K l’ensemble des χ ∈ X (A) tels que
x n’appartienne pas à I au voisinage de χ. Alors l’ensemble K est une
partie parfaite de X (A).
Notons G le complémentaire de K dans X (A). L’ensemble G est
ouvert dans X (A) (remarque 3) donc K est fermé.
Procédons par contradiction, et supposons que K admette un point
isolé χ 0 . Notons U un voisinage de χ 0 tel que U {χ 0 } ⊂ G. Comme
x n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 , la remarque 5 démontre que
χ 0 ∈ V(I). En particulier, on a χ 0 (x) = 0 puisque x ∈ Υ(V(I)).
Nous allons montrer qu’il existe un élément y de A qui appartient
à I au voisinage de tout point de X (A) {χ 0 }, qui n’appartient pas
à I au voisinage de χ 0 , et tel que χ 0 (y) = 0.
Supposons tout d’abord démontrée l’existence d’un tel élément y.
Puisque A vérifie la condition de Ditkin, il existe alors une suite (x n )
dans A telle que x n y tende vers y et telle que chaque G (x n ) s’annule
dans un voisinage de χ 0 . Pour tout n, l’élément x n y appartient alors
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SYNTHÈSE HARMONIQUE
TS I.93
1) Si χ est tel que G (x) s’annule au voisinage de χ, alors x appartient à I au voisinage de χ.
2) Si x appartient à I au voisinage de χ et y ∈ A est un élément
quelconque, alors xy appartient à I au voisinage de χ.
3) L’ensemble des χ tels que x appartient à I au voisinage de χ est
ouvert dans X (A).
4) Supposons que A est régulière et sans radical. Si x appartient à I
au voisinage de χ pour tout χ ∈ X (A), alors x appartient à I (cor. 2
de I, p. 91 appliqué à la fonction f = G (x) et prop. 8 de I, p. 38).
5) Supposons que A est régulière. Soient I un idéal de A et χ un
élément de X(A) tel que χ ∈ V(I). Alors tout élément x de A appartient
à I au voisinage de χ. En effet, d’après la déf. 1 de I, p. 89, il existe
un z ∈ A tel que G (z) soit égale à 1 au voisinage de χ, et égale à 0
au voisinage de V(I). Le support de G (z) est compact et donc on a
z ∈ I (prop. 4 appliquée à V(I)), donc xz ∈ I, et G (xz) = G (x) au
voisinage de χ.
Rappelons qu’un sous-espace K d’un espace topologique X est dit
parfait s’il est fermé sans point isolé (TG, I, p. 8).
Lemme 1. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans
radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soient I un idéal fermé de A
et x un élément de Υ(V(I)). Soit K l’ensemble des χ ∈ X (A) tels que
x n’appartienne pas à I au voisinage de χ. Alors l’ensemble K est une
partie parfaite de X (A).
Notons G le complémentaire de K dans X (A). L’ensemble G est
ouvert dans X (A) (remarque 3) donc K est fermé.
Procédons par contradiction, et supposons que K admette un point
isolé χ 0 . Notons U un voisinage de χ 0 tel que U {χ 0 } ⊂ G. Comme
x n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 , la remarque 5 démontre que
χ 0 ∈ V(I). En particulier, on a χ 0 (x) = 0 puisque x ∈ Υ(V(I)).
Nous allons montrer qu’il existe un élément y de A qui appartient
à I au voisinage de tout point de X (A) {χ 0 }, qui n’appartient pas
à I au voisinage de χ 0 , et tel que χ 0 (y) = 0.
Supposons tout d’abord démontrée l’existence d’un tel élément y.
Puisque A vérifie la condition de Ditkin, il existe alors une suite (x n )
dans A telle que x n y tende vers y et telle que chaque G (x n ) s’annule
dans un voisinage de χ 0 . Pour tout n, l’élément x n y appartient alors