TS I.94
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
à I au voisinage de tout point de X (A) (remarques 1 et 2) et donc
x n y ∈ I (remarque 4). Puisque I est fermé, on en déduit que y ∈ I, ce
qui contredit le fait que y n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 .
Il reste à démontrer l’existence de y. Si χ 0 = 0, d’après l’assertion
(iii) de la prop. 1 de I, p. 88, il existe un u ∈ A tel que G (u) soit
égale à 1 au voisinage de χ 0 et égale à 0 au voisinage de X (A) U.
Soit y = ux. Puisque x appartient à I au voisinage de χ pour tout
χ ∈ U {χ 0 }, il en est de même de y. De plus, si χ ∈ X (A) U,
alors G (y) s’annule au voisinage de χ. Donc (remarque 5) l’élément
y = ux appartient à I au voisinage de tout χ = χ 0 . Comme G (y)
coïncide avec G (x) au voisinage de χ 0 , le fait que χ 0 appartienne à K
implique que y n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 . Finalement,
on a χ 0 (y) = χ 0 (u)χ 0 (x) = 0.
Si χ 0 = 0, il existe similairement un élément v ∈ A tel que G (v) soit
nulle au voisinage de χ 0 et égale à 1 au voisinage de X (A) U ; comme
précédemment, on en déduit que l’élément y = x − vx appartient à I
au voisinage de tout χ = χ 0 , qu’il n’appartient pas à I au voisinage
de χ 0 , et que χ 0 (y) = 0.
Lemme 2. — Soit X un espace topologique. Soient F et D des sousespaces de X disjoints tels que F soit fermé et D discret. Si F ne
contient pas de sous-espace parfait non vide, il en est de même de F∪D.
Supposons en effet que K est un sous-espace parfait non vide de
F ∪ D. Soit x un point de K. Si x appartient à D, il est isolé dans D,
donc également dans F ∪ D puisque F est fermé. Donc x est isolé
dans K, ce qui contredit les hypothèses.
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soit I un idéal
fermé de A tel que la frontière F de V(I) ne contienne aucun ensemble
parfait non vide. Alors I = Υ(V(I)), c’est-à-dire que I est l’ensemble
des x ∈ A tels que G (x) s’annule sur V(I). En particulier, si V(I) se
réduit à un point χ, on a I = Ker(χ).
On a I ⊂ Υ(V(I)). Soit maintenant x ∈ Υ(V(I)). Soit G l’ensemble
des caractères χ ∈ X (A) tels que x appartienne à I au voisinage de χ.
Il est ouvert et son complémentaire K est parfait (lemme 1). Comme
G (x) est nulle sur V(I), l’ensemble G contient l’intérieur de V(I) ∪ {0}
(remarque 1). Il contient également X(A) V(I) d’après la remarque 5.
Donc K = X (A) G est contenu dans la frontière F 0 de V(I) ∪ {0}.
ALGÈBRES DE BANACH COMMUTATIVES RÉGULIÈRES
§ 5
à I au voisinage de tout point de X (A) (remarques 1 et 2) et donc
x n y ∈ I (remarque 4). Puisque I est fermé, on en déduit que y ∈ I, ce
qui contredit le fait que y n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 .
Il reste à démontrer l’existence de y. Si χ 0 = 0, d’après l’assertion
(iii) de la prop. 1 de I, p. 88, il existe un u ∈ A tel que G (u) soit
égale à 1 au voisinage de χ 0 et égale à 0 au voisinage de X (A) U.
Soit y = ux. Puisque x appartient à I au voisinage de χ pour tout
χ ∈ U {χ 0 }, il en est de même de y. De plus, si χ ∈ X (A) U,
alors G (y) s’annule au voisinage de χ. Donc (remarque 5) l’élément
y = ux appartient à I au voisinage de tout χ = χ 0 . Comme G (y)
coïncide avec G (x) au voisinage de χ 0 , le fait que χ 0 appartienne à K
implique que y n’appartient pas à I au voisinage de χ 0 . Finalement,
on a χ 0 (y) = χ 0 (u)χ 0 (x) = 0.
Si χ 0 = 0, il existe similairement un élément v ∈ A tel que G (v) soit
nulle au voisinage de χ 0 et égale à 1 au voisinage de X (A) U ; comme
précédemment, on en déduit que l’élément y = x − vx appartient à I
au voisinage de tout χ = χ 0 , qu’il n’appartient pas à I au voisinage
de χ 0 , et que χ 0 (y) = 0.
Lemme 2. — Soit X un espace topologique. Soient F et D des sousespaces de X disjoints tels que F soit fermé et D discret. Si F ne
contient pas de sous-espace parfait non vide, il en est de même de F∪D.
Supposons en effet que K est un sous-espace parfait non vide de
F ∪ D. Soit x un point de K. Si x appartient à D, il est isolé dans D,
donc également dans F ∪ D puisque F est fermé. Donc x est isolé
dans K, ce qui contredit les hypothèses.
Proposition 5. — Soit A une algèbre de Banach commutative régulière sans radical, vérifiant la condition de Ditkin. Soit I un idéal
fermé de A tel que la frontière F de V(I) ne contienne aucun ensemble
parfait non vide. Alors I = Υ(V(I)), c’est-à-dire que I est l’ensemble
des x ∈ A tels que G (x) s’annule sur V(I). En particulier, si V(I) se
réduit à un point χ, on a I = Ker(χ).
On a I ⊂ Υ(V(I)). Soit maintenant x ∈ Υ(V(I)). Soit G l’ensemble
des caractères χ ∈ X (A) tels que x appartienne à I au voisinage de χ.
Il est ouvert et son complémentaire K est parfait (lemme 1). Comme
G (x) est nulle sur V(I), l’ensemble G contient l’intérieur de V(I) ∪ {0}
(remarque 1). Il contient également X(A) V(I) d’après la remarque 5.
Donc K = X (A) G est contenu dans la frontière F 0 de V(I) ∪ {0}.