N
o 1
INVOLUTIONS SEMI-LINÉAIRES
TS I.95
On a F 0 ⊂ F ∪ {0}. L’hypothèse implique donc que F 0 ne contient pas
d’ensemble parfait non vide (lemme 2). Il découle donc du lemme 1 que
l’ensemble parfait K est vide. Donc x appartient à I au voisinage de
tout χ ∈ X (A), ce qui signifie que x ∈ I (remarque 4). Ainsi Υ(V(I)) ⊂
I, ce qui conclut la preuve.
§ 6. ALGÈBRES STELLAIRES
Dans ce paragraphe, le corps de base est C.
1. Involutions semi-linéaires
Soit E un espace vectoriel complexe. Une involution semi-linéaire
sur E est une application R-linéaire de E dans E telle que u ◦ u = Id E
et u(λx) = λu(x) pour tout λ ∈ C et tout x ∈ E. On note alors E u
le sous-espace vectoriel réel de E formé des éléments x ∈ E tels que
u(x) = x.
Lemme 1. — Soient E un espace vectoriel complexe et u une involution
semi-linéaire sur E. Soit x ∈ E ;posons
x 1 =
1
2
(x + u(x)),
x 2 =
1
2i
(x − u(x)).
Le couple (x 1 , x 2 ) est l’unique élément de E u × E u tel que x = x 1 + ix 2 .
Les éléments x 1 et x 2 vérifient x 1 + ix 2 = x et appartiennent à
E u puisque u(u(x)) = x. Inversement, si y 1 et y 2 dans E u vérifient
x = y 1 + iy 2 , il vient u(x) = u(y 1 ) + u(iy 2 ) = y 1 − iy 2 , donc
y 1 =
1
2
(x + u(x)) = x 1 ,
iy 2 =
1
2
(x − u(x)) = ix 2 .
Proposition 1. — Soient E 1 et E 2 des espaces vectoriels complexes,
et soient u 1 et u 2 des involutions semi-linéaires sur E 1 et E 2 respectivement. Soit f une application linéaire de E 1 dans E 2 . Alors
f ◦ u 1 = u 2 ◦ f si et seulement si f (E
u 1
1 ) ⊂ E
u 2
2 .