TS I.96
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Si f ◦ u 1 = u 2 ◦ f , on obtient aussitôt f (E
u 1
1 ) ⊂ E
u 2
2 . Inversement,
supposons que cette condition est satisfaite. Soit x ∈ E. Écrivons
x = x 1 + ix 2 avec (x 1 , x 2 ) ∈ E
u 1
1 × E
u 1
1 (lemme ci-dessus). On a alors
f (u 1 (x)) = f (x 1 ) − if (x 2 ) et u 2 (f (x)) = u 2 (f (x 1 )) − iu 2 (f (x 2 )) =
f (x 1 ) − if (x 2 ) = f (u 1 (x)).
2. Algèbres involutives
Définition 1. — Soit A une algèbre sur C. On appelle involution
dans A une application x → x ∗ de A dans A telle que :
(x
∗ )
∗ = x, (x + y)
∗ = x
∗ + y
∗ , (λx)
∗ = λx
∗
(xy)
∗ = y
∗ x
∗
quels que soient x, y ∈ A et λ ∈ C. Une algèbre sur C munie d’une
involution est appelée une algèbre involutive.
Une involution sur A est en particulier un isomorphisme de l’anneau A sur l’anneau opposé A ◦ .
Soit A une algèbre involutive. On dit que x ∗ est l’adjoint de x. Une
partie de A stable pour l’involution est dite auto-adjointe. Si A possède
un élément unité e, on a e ∗ = e ; on dit que (A, e) est une algèbre
unifère involutive. Un élément u d’une algèbre unifère involutive est
dit unitaire si uu ∗ = u ∗ u = e, autrement dit si u est inversible et si
son inverse est u ∗ .
Un élément x ∈ A est dit hermitien si x = x ∗ et normal si xx ∗ =
x ∗ x. Cette terminologie généralise celle de A, IX, § 7, n
o 3. Tout
élément hermitien est normal, tout élément unitaire est normal. L’ensemble A h des éléments hermitiens de A est un sous-espace vectoriel
réel de A. Si x et y sont hermitiens et permutables, on a (xy) ∗ =
y ∗ x ∗ = yx = xy, donc xy est hermitien. Pour tout x ∈ A, les éléments
xx ∗ et x ∗ x de A sont hermitiens.
Si A = C muni de l’involution z → z, on a A h = R.
Lemme 2. — Soient A une algèbre involutive et x ∈ A. Les éléments
x 1 =
1
2
(x + x
∗ ),
x 2 =
1
2i
(x − x
∗ )
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Si f ◦ u 1 = u 2 ◦ f , on obtient aussitôt f (E
u 1
1 ) ⊂ E
u 2
2 . Inversement,
supposons que cette condition est satisfaite. Soit x ∈ E. Écrivons
x = x 1 + ix 2 avec (x 1 , x 2 ) ∈ E
u 1
1 × E
u 1
1 (lemme ci-dessus). On a alors
f (u 1 (x)) = f (x 1 ) − if (x 2 ) et u 2 (f (x)) = u 2 (f (x 1 )) − iu 2 (f (x 2 )) =
f (x 1 ) − if (x 2 ) = f (u 1 (x)).
2. Algèbres involutives
Définition 1. — Soit A une algèbre sur C. On appelle involution
dans A une application x → x ∗ de A dans A telle que :
(x
∗ )
∗ = x, (x + y)
∗ = x
∗ + y
∗ , (λx)
∗ = λx
∗
(xy)
∗ = y
∗ x
∗
quels que soient x, y ∈ A et λ ∈ C. Une algèbre sur C munie d’une
involution est appelée une algèbre involutive.
Une involution sur A est en particulier un isomorphisme de l’anneau A sur l’anneau opposé A ◦ .
Soit A une algèbre involutive. On dit que x ∗ est l’adjoint de x. Une
partie de A stable pour l’involution est dite auto-adjointe. Si A possède
un élément unité e, on a e ∗ = e ; on dit que (A, e) est une algèbre
unifère involutive. Un élément u d’une algèbre unifère involutive est
dit unitaire si uu ∗ = u ∗ u = e, autrement dit si u est inversible et si
son inverse est u ∗ .
Un élément x ∈ A est dit hermitien si x = x ∗ et normal si xx ∗ =
x ∗ x. Cette terminologie généralise celle de A, IX, § 7, n
o 3. Tout
élément hermitien est normal, tout élément unitaire est normal. L’ensemble A h des éléments hermitiens de A est un sous-espace vectoriel
réel de A. Si x et y sont hermitiens et permutables, on a (xy) ∗ =
y ∗ x ∗ = yx = xy, donc xy est hermitien. Pour tout x ∈ A, les éléments
xx ∗ et x ∗ x de A sont hermitiens.
Si A = C muni de l’involution z → z, on a A h = R.
Lemme 2. — Soient A une algèbre involutive et x ∈ A. Les éléments
x 1 =
1
2
(x + x
∗ ),
x 2 =
1
2i
(x − x
∗ )