N
o 2
ALGÈBRES INVOLUTIVES
TS I.97
sont hermitiens et vérifient x = x 1 + ix 2 . Si x = y 1 + iy 2 avec y 1 et y 2
hermitiens, alors x 1 = y 1 et x 2 = y 2 . De plus, l’élément x est normal
si et seulement si x 1 et x 2 sont permutables.
Les deux premières assertions résultent du lemme 1 de I, p. 95. On
calcule que xx ∗ − x ∗ x = 2i(x 2 x 1 − x 1 x 2 ), donc x est normal si et
seulement si x 1 et x 2 sont permutables.
Soit A une algèbre unifère involutive. Pour que x ∈ A soit inversible,
il faut et il suffit que x ∗ le soit, et on a alors (x ∗ ) −1 = (x −1 ) ∗ . Comme
(x − λe) ∗ = x ∗ − λe pour tout λ ∈ C, on en déduit que Sp A (x ∗ ) =
Sp A (x).
Soient A une algèbre involutive et
A l’algèbre déduite de A par
adjonction d’un élément unité. Il existe dans
A une unique involution
prolongeant celle de A, donnée par (λ, x) ∗ = (λ, x ∗ ) pour λ ∈ C et
x ∈ A. Si x ∈ A, on a Sp
A (x ∗ ) = Sp
A (x).
Soient A et B des algèbres involutives. On appelle morphisme de A
dans B un morphisme d’algèbres ϕ de A dans B tel que ϕ(x ∗ ) = ϕ(x) ∗
quels que soient x et y dans A. L’application identique de A est un
morphisme d’algèbres involutives. Si C est une algèbre involutive et
π : B → C un morphisme d’algèbres involutives, alors π ◦ ϕ est un
morphisme d’algèbres involutives. Si ϕ est un isomorphisme d’algèbres,
alors ϕ −1 est un morphisme d’algèbres involutives, et on dit que ϕ est
un isomorphisme d’algèbres involutives.
D’après la prop. 1 de I, p. 95, si A et B sont des algèbres involutives,
un morphisme d’algèbres ϕ de A dans B est un morphisme d’algèbres
involutives si et seulement si ϕ(A h ) ⊂ B h . On appelle sous-algèbre
involutive de A une sous-algèbre auto-adjointe. Le centre de A est
une sous-algèbre involutive. Si A 1 est un idéal bilatère auto-adjoint
de A, l’involution de A définit par passage au quotient une involution
dans l’algèbre A/A 1 , et l’application canonique de A sur A/A 1 est un
morphisme d’algèbres involutives.
Soit A une algèbre involutive. Le radical de A est égal au radical de
l’algèbre opposée (A, VIII, p. 431, prop. 7), et est donc auto-adjoint.
Soit A une algèbre involutive. Si M ⊂ A est auto-adjoint, son commutant M est une sous-algèbre involutive de A. Si x ∈ A, le bicommutant de {x, x ∗ } est une sous-algèbre involutive contenant x et x ∗ ,
et cette sous-algèbre est commutative si et seulement si x est normal
(n
o 5 de I, p. 5).
o 2
ALGÈBRES INVOLUTIVES
TS I.97
sont hermitiens et vérifient x = x 1 + ix 2 . Si x = y 1 + iy 2 avec y 1 et y 2
hermitiens, alors x 1 = y 1 et x 2 = y 2 . De plus, l’élément x est normal
si et seulement si x 1 et x 2 sont permutables.
Les deux premières assertions résultent du lemme 1 de I, p. 95. On
calcule que xx ∗ − x ∗ x = 2i(x 2 x 1 − x 1 x 2 ), donc x est normal si et
seulement si x 1 et x 2 sont permutables.
Soit A une algèbre unifère involutive. Pour que x ∈ A soit inversible,
il faut et il suffit que x ∗ le soit, et on a alors (x ∗ ) −1 = (x −1 ) ∗ . Comme
(x − λe) ∗ = x ∗ − λe pour tout λ ∈ C, on en déduit que Sp A (x ∗ ) =
Sp A (x).
Soient A une algèbre involutive et
A l’algèbre déduite de A par
adjonction d’un élément unité. Il existe dans
A une unique involution
prolongeant celle de A, donnée par (λ, x) ∗ = (λ, x ∗ ) pour λ ∈ C et
x ∈ A. Si x ∈ A, on a Sp
A (x ∗ ) = Sp
A (x).
Soient A et B des algèbres involutives. On appelle morphisme de A
dans B un morphisme d’algèbres ϕ de A dans B tel que ϕ(x ∗ ) = ϕ(x) ∗
quels que soient x et y dans A. L’application identique de A est un
morphisme d’algèbres involutives. Si C est une algèbre involutive et
π : B → C un morphisme d’algèbres involutives, alors π ◦ ϕ est un
morphisme d’algèbres involutives. Si ϕ est un isomorphisme d’algèbres,
alors ϕ −1 est un morphisme d’algèbres involutives, et on dit que ϕ est
un isomorphisme d’algèbres involutives.
D’après la prop. 1 de I, p. 95, si A et B sont des algèbres involutives,
un morphisme d’algèbres ϕ de A dans B est un morphisme d’algèbres
involutives si et seulement si ϕ(A h ) ⊂ B h . On appelle sous-algèbre
involutive de A une sous-algèbre auto-adjointe. Le centre de A est
une sous-algèbre involutive. Si A 1 est un idéal bilatère auto-adjoint
de A, l’involution de A définit par passage au quotient une involution
dans l’algèbre A/A 1 , et l’application canonique de A sur A/A 1 est un
morphisme d’algèbres involutives.
Soit A une algèbre involutive. Le radical de A est égal au radical de
l’algèbre opposée (A, VIII, p. 431, prop. 7), et est donc auto-adjoint.
Soit A une algèbre involutive. Si M ⊂ A est auto-adjoint, son commutant M est une sous-algèbre involutive de A. Si x ∈ A, le bicommutant de {x, x ∗ } est une sous-algèbre involutive contenant x et x ∗ ,
et cette sous-algèbre est commutative si et seulement si x est normal
(n
o 5 de I, p. 5).