TS I.98
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Remarque. — Soient A une algèbre involutive et B une sous-algèbre
involutive commutative maximale de A. Alors B est une sous-algèbre
commutative maximale. En particulier, si A est unifère, alors l’algèbre B est pleine.
En effet, soit x ∈ A un élément permutable à B. Alors x ∗ est permutable à B. Écrivons x = x 1 + ix 2 avec x 1 et x 2 hermitiens ; les éléments
x 1 et x 2 sont permutables à B (lemme 2). La sous-algèbre de A engendrée par B et x 1 est donc commutative et involutive. Par conséquent,
elle est égale à B, de sorte que x 1 ∈ B. De même, on a x 2 ∈ B, et donc
finalement x ∈ B.
Soit A une algèbre involutive. Si f est une forme linéaire sur A,
l’application x → f (x ∗ ) sur A est une forme linéaire sur A, que l’on
note f ∗ . L’application f → f ∗ est une involution semi-linéaire sur A .
On dit que f est hermitienne si f = f ∗ . D’après le lemme 1 de I, p. 95,
toute forme linéaire f sur A a une unique représentation f = f 1 + if 2
où f 1 et f 2 sont hermitiennes, à savoir f 1 =
1
2 (f +f ∗ ) et f 2 =
1
2i (f −f ∗ ).
Pour qu’une forme linéaire f soit hermitienne, il faut et il suffit que
la restriction de f à A h soit à valeurs réelles (proposition 1 de I, p. 95).
L’application f → f |A h est un isomorphisme de l’espace vectoriel réel
des formes hermitiennes sur l’espace vectoriel dual de l’espace vectoriel
réel A h .
En particulier, on notera X (A) h (resp. X(A) h ) l’ensemble des caractères hermitiens de A (resp. l’ensemble des caractères hermitiens non
nuls de A). Un caractère est donc hermitien si sa restriction à A h est
à valeurs réelles.
Si A est commutative et si χ est un caractère de A, alors χ ∗ est un
caractère de A, et l’application χ → χ ∗ est un homéomorphisme de
X (A) sur X (A).
Lemme 3. — Soit A une algèbre involutive commutative. La transformation de Gelfand de A dans C 0 (X(A)) est un morphisme d’algèbres
involutives si et seulement si tout caractère de A est hermitien.
En effet, dire que G A est un morphisme d’algèbres involutives revient
à dire que, pour tous x ∈ A et χ ∈ X(A), on a
χ(x
∗ ) = G A (x
∗ )(χ) = G A (x)(χ) = χ(x),
c’est-à-dire que tout χ est hermitien.
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Remarque. — Soient A une algèbre involutive et B une sous-algèbre
involutive commutative maximale de A. Alors B est une sous-algèbre
commutative maximale. En particulier, si A est unifère, alors l’algèbre B est pleine.
En effet, soit x ∈ A un élément permutable à B. Alors x ∗ est permutable à B. Écrivons x = x 1 + ix 2 avec x 1 et x 2 hermitiens ; les éléments
x 1 et x 2 sont permutables à B (lemme 2). La sous-algèbre de A engendrée par B et x 1 est donc commutative et involutive. Par conséquent,
elle est égale à B, de sorte que x 1 ∈ B. De même, on a x 2 ∈ B, et donc
finalement x ∈ B.
Soit A une algèbre involutive. Si f est une forme linéaire sur A,
l’application x → f (x ∗ ) sur A est une forme linéaire sur A, que l’on
note f ∗ . L’application f → f ∗ est une involution semi-linéaire sur A .
On dit que f est hermitienne si f = f ∗ . D’après le lemme 1 de I, p. 95,
toute forme linéaire f sur A a une unique représentation f = f 1 + if 2
où f 1 et f 2 sont hermitiennes, à savoir f 1 =
1
2 (f +f ∗ ) et f 2 =
1
2i (f −f ∗ ).
Pour qu’une forme linéaire f soit hermitienne, il faut et il suffit que
la restriction de f à A h soit à valeurs réelles (proposition 1 de I, p. 95).
L’application f → f |A h est un isomorphisme de l’espace vectoriel réel
des formes hermitiennes sur l’espace vectoriel dual de l’espace vectoriel
réel A h .
En particulier, on notera X (A) h (resp. X(A) h ) l’ensemble des caractères hermitiens de A (resp. l’ensemble des caractères hermitiens non
nuls de A). Un caractère est donc hermitien si sa restriction à A h est
à valeurs réelles.
Si A est commutative et si χ est un caractère de A, alors χ ∗ est un
caractère de A, et l’application χ → χ ∗ est un homéomorphisme de
X (A) sur X (A).
Lemme 3. — Soit A une algèbre involutive commutative. La transformation de Gelfand de A dans C 0 (X(A)) est un morphisme d’algèbres
involutives si et seulement si tout caractère de A est hermitien.
En effet, dire que G A est un morphisme d’algèbres involutives revient
à dire que, pour tous x ∈ A et χ ∈ X(A), on a
χ(x
∗ ) = G A (x
∗ )(χ) = G A (x)(χ) = χ(x),
c’est-à-dire que tout χ est hermitien.