N
o 2
ALGÈBRES INVOLUTIVES
TS I.99
Exemples. — 1) Soit A l’algèbre des fonctions à valeurs complexes
sur un ensemble X. L’application f → f est une involution dans A.
La sous-algèbre des fonctions bornées dans X est une sous-algèbre involutive de A. Si X est un espace topologique localement compact,
les sous-algèbres C (X), C b (X), C 0 (X) et K (X) sont des sous-algèbres
involutives de A.
2) Soient X un espace topologique localement compact et µ une
mesure positive sur X. L’application f → f est une involution sur
l’algèbre L ∞ (X, µ) ; elle induit par passage au quotient une involution
sur l’algèbre unifère L ∞ (X, µ).
3) Soit E un espace hilbertien complexe. Sur l’algèbre de Banach
L (E), l’application x → x ∗ (EVT, V, p. 37, prop. 1) est une involution.
4) Soit G un groupe localement compact. Soit M 1 (G) l’algèbre de
Banach des mesures bornées complexes sur G (exemple 6 de I, p. 19).
L’application x → x −1 de G sur G transforme toute mesure µ ∈
M 1 (G) en une mesure q
µ ∈ M 1 (G) (INT, VII, p. 12, formule (13)).
On note µ ∗ la mesure complexe conjuguée de q
µ. L’application µ → q
µ
est un isomorphisme isométrique de l’algèbre de Banach M 1 (G) sur
l’algèbre de Banach M 1 (G ◦ ) (INT, VIII, §3, n
o 1, cor. de la prop. 7)
donc µ → µ ∗ est une involution isométrique de l’algèbre de Banach
M 1 (G).
L’ensemble A des mesures bornées admettant une densité par rapport à une mesure de Haar est une sous-algèbre fermée de M 1 (G)
stable par l’involution (cf. INT, VIII, §4, n
o 5) ; elle ne dépend pas du
choix d’une mesure de Haar.
Soit ν une mesure de Haar à gauche sur G et notons ∆ le module de G. On munit L 1 (G, ν) du produit (f, g) → f ∗ ν g et de l’involution f → f ∗ =
f · ∆ −1 , où
f (x) = f (x −1 ) pour tout x ∈ G.
Alors l’application f → f · ν est un isomorphisme de l’algèbre involutive L 1 (G, ν) sur A. Cet isomorphisme est isométrique. En particulier,
L 1 (G, ν) s’identifie à une sous-algèbre involutive de M 1 (G).
5) Soit U une partie ouverte de C stable par la conjugaison complexe. Considérons l’algèbre O(U) des fonctions holomorphes à valeurs complexes sur U. Pour toute fonction f ∈ O(U), l’application
f ∗ : z → f (z) est une fonction holomorphe sur U. L’application f → f ∗
est une involution sur O(U).
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ALGÈBRES INVOLUTIVES
TS I.99
Exemples. — 1) Soit A l’algèbre des fonctions à valeurs complexes
sur un ensemble X. L’application f → f est une involution dans A.
La sous-algèbre des fonctions bornées dans X est une sous-algèbre involutive de A. Si X est un espace topologique localement compact,
les sous-algèbres C (X), C b (X), C 0 (X) et K (X) sont des sous-algèbres
involutives de A.
2) Soient X un espace topologique localement compact et µ une
mesure positive sur X. L’application f → f est une involution sur
l’algèbre L ∞ (X, µ) ; elle induit par passage au quotient une involution
sur l’algèbre unifère L ∞ (X, µ).
3) Soit E un espace hilbertien complexe. Sur l’algèbre de Banach
L (E), l’application x → x ∗ (EVT, V, p. 37, prop. 1) est une involution.
4) Soit G un groupe localement compact. Soit M 1 (G) l’algèbre de
Banach des mesures bornées complexes sur G (exemple 6 de I, p. 19).
L’application x → x −1 de G sur G transforme toute mesure µ ∈
M 1 (G) en une mesure q
µ ∈ M 1 (G) (INT, VII, p. 12, formule (13)).
On note µ ∗ la mesure complexe conjuguée de q
µ. L’application µ → q
µ
est un isomorphisme isométrique de l’algèbre de Banach M 1 (G) sur
l’algèbre de Banach M 1 (G ◦ ) (INT, VIII, §3, n
o 1, cor. de la prop. 7)
donc µ → µ ∗ est une involution isométrique de l’algèbre de Banach
M 1 (G).
L’ensemble A des mesures bornées admettant une densité par rapport à une mesure de Haar est une sous-algèbre fermée de M 1 (G)
stable par l’involution (cf. INT, VIII, §4, n
o 5) ; elle ne dépend pas du
choix d’une mesure de Haar.
Soit ν une mesure de Haar à gauche sur G et notons ∆ le module de G. On munit L 1 (G, ν) du produit (f, g) → f ∗ ν g et de l’involution f → f ∗ =
f · ∆ −1 , où
f (x) = f (x −1 ) pour tout x ∈ G.
Alors l’application f → f · ν est un isomorphisme de l’algèbre involutive L 1 (G, ν) sur A. Cet isomorphisme est isométrique. En particulier,
L 1 (G, ν) s’identifie à une sous-algèbre involutive de M 1 (G).
5) Soit U une partie ouverte de C stable par la conjugaison complexe. Considérons l’algèbre O(U) des fonctions holomorphes à valeurs complexes sur U. Pour toute fonction f ∈ O(U), l’application
f ∗ : z → f (z) est une fonction holomorphe sur U. L’application f → f ∗
est une involution sur O(U).