TS I.100
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Similairement, soit S une partie compacte de C stable par la conjugaison complexe. Considérons l’algèbre O(S) des germes de fonctions
holomorphes à valeurs complexes au voisinage de S. L’application
f → f ∗ est une involution sur O(S).
La sous-algèbre O R (U) (resp. la sous-algèbre O R (S)) définie dans le
n o 13 de I, p. 85 est l’ensemble des éléments hermitiens de O(U) (resp.
de O(S)).
3. Algèbres normées involutives
Définition 2. — On appelle algèbre normée involutive une algèbre
normée A munie d’une involution x → x ∗ telle que x ∗ = x pour
tout x. Si A est une algèbre de Banach, on dit que A est une algèbre
de Banach involutive.
Exemples. — 1) Soit X un espace topologique localement compact.
L’algèbre de Banach C b (X) des fonctions complexes continues et bornées sur X, munie de la norme f = sup
x∈X
|f (x)| et de l’involution
f → f , est une algèbre de Banach involutive. La sous-algèbre C 0 (X)
des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini est une sous-algèbre
involutive fermée de C b (X).
2) Soient X un espace topologique localement compact et µ une
mesure positive sur X. L’algèbre involutive L ∞ (X, µ) (exemple 2 de I,
p. 99) est une algèbre de Banach involutive, puisque |f | = |f | pour
tout élément f ∈ L ∞ (X, µ).
3) L’algèbre involutive L (E) des endomorphismes continus d’un
espace hilbertien complexe E (I, p. 99, exemple 3), munie de la norme
u = sup
x∈E
x1
u(x)
(EVT, III, p. 14) est une algèbre de Banach involutive (EVT, V, p. 37,
prop. 1).
4) L’algèbre involutive M 1 (G) des mesures bornées sur un groupe
localement compact (I, p. 99, exemple 4), munie de la norme usuelle
(exemple 6 de I, p. 19), est une algèbre de Banach involutive. Soit ν
une mesure de Haar à gauche sur G. L’algèbre de Banach involutive
L 1 (G, ν) s’identifie à une sous-algèbre fermée de M 1 (G).
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Similairement, soit S une partie compacte de C stable par la conjugaison complexe. Considérons l’algèbre O(S) des germes de fonctions
holomorphes à valeurs complexes au voisinage de S. L’application
f → f ∗ est une involution sur O(S).
La sous-algèbre O R (U) (resp. la sous-algèbre O R (S)) définie dans le
n o 13 de I, p. 85 est l’ensemble des éléments hermitiens de O(U) (resp.
de O(S)).
3. Algèbres normées involutives
Définition 2. — On appelle algèbre normée involutive une algèbre
normée A munie d’une involution x → x ∗ telle que x ∗ = x pour
tout x. Si A est une algèbre de Banach, on dit que A est une algèbre
de Banach involutive.
Exemples. — 1) Soit X un espace topologique localement compact.
L’algèbre de Banach C b (X) des fonctions complexes continues et bornées sur X, munie de la norme f = sup
x∈X
|f (x)| et de l’involution
f → f , est une algèbre de Banach involutive. La sous-algèbre C 0 (X)
des fonctions continues tendant vers 0 à l’infini est une sous-algèbre
involutive fermée de C b (X).
2) Soient X un espace topologique localement compact et µ une
mesure positive sur X. L’algèbre involutive L ∞ (X, µ) (exemple 2 de I,
p. 99) est une algèbre de Banach involutive, puisque |f | = |f | pour
tout élément f ∈ L ∞ (X, µ).
3) L’algèbre involutive L (E) des endomorphismes continus d’un
espace hilbertien complexe E (I, p. 99, exemple 3), munie de la norme
u = sup
x∈E
x1
u(x)
(EVT, III, p. 14) est une algèbre de Banach involutive (EVT, V, p. 37,
prop. 1).
4) L’algèbre involutive M 1 (G) des mesures bornées sur un groupe
localement compact (I, p. 99, exemple 4), munie de la norme usuelle
(exemple 6 de I, p. 19), est une algèbre de Banach involutive. Soit ν
une mesure de Haar à gauche sur G. L’algèbre de Banach involutive
L 1 (G, ν) s’identifie à une sous-algèbre fermée de M 1 (G).