N
o 3
ALGÈBRES NORMÉES INVOLUTIVES
TS I.101
5) Soit (A i ) une famille d’algèbres normées involutives. Soit A l’algèbre normée produit des A i (n
o 1 de I, p. 15). L’algèbre A, munie de
l’involution (x i ) ∗ = (x ∗
i ), est une algèbre normée involutive. Si chacune des algèbres A i est une algèbre de Banach involutive, alors A est
une algèbre de Banach involutive. On dit que A est l’algèbre normée
involutive (resp. l’algèbre de Banach involutive) produit des A i .
6) Soit A une algèbre normée involutive et soit
A l’algèbre normée
déduite de A par adjonction d’un élément unité. Munie de l’involution
définie au n
o 2, l’algèbre
A est une algèbre normée involutive. Si A est
une algèbre de Banach involutive, alors
A est également une algèbre
de Banach involutive.
Si A est une algèbre normée involutive, l’adhérence d’une sousalgèbre involutive est une sous-algèbre involutive. Si M ⊂ A, la plus
petite sous-algèbre fermée involutive contenant M est appelée la sousalgèbre fermée involutive engendrée par M ; c’est l’adhérence de la sousalgèbre engendrée par M ∪ M ∗ . Si M se réduit à un élément normal,
l’algèbre fermée involutive engendrée par M est commutative, et tous
ses éléments sont normaux.
De même, si A est une algèbre normée involutive unifère et M un
sous-ensemble de A, la plus petite sous-algèbre unifère fermée involutive contenant M est appelée la sous-algèbre unifère fermée involutive
engendrée par M ; c’est l’adhérence de la sous-algèbre unifère engendrée par M ∪ M ∗ . Si M se réduit à un élément normal, l’algèbre unifère
fermée involutive engendrée par M est commutative, et tous ses éléments sont normaux.
Le quotient d’une algèbre normée involutive par un idéal bilatère
fermé auto-adjoint, la complétée et l’opposée d’une algèbre normée
involutive sont de façon naturelle des algèbres normées involutives.
Si A est une algèbre normée involutive, l’ensemble A h des éléments
hermitiens de A est un espace vectoriel réel normé.
Lemme 4. — Soit A une algèbre normée involutive. Pour toute forme
linéaire f continue sur A, on a f ∗ = f . Si de plus f est hermitienne, alors f = f |A h .
La première assertion découle des définitions. Pour la seconde, notons g la restriction de f à A h . On a f g. Montrons l’inégalité
réciproque. Pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x 1 et
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ALGÈBRES NORMÉES INVOLUTIVES
TS I.101
5) Soit (A i ) une famille d’algèbres normées involutives. Soit A l’algèbre normée produit des A i (n
o 1 de I, p. 15). L’algèbre A, munie de
l’involution (x i ) ∗ = (x ∗
i ), est une algèbre normée involutive. Si chacune des algèbres A i est une algèbre de Banach involutive, alors A est
une algèbre de Banach involutive. On dit que A est l’algèbre normée
involutive (resp. l’algèbre de Banach involutive) produit des A i .
6) Soit A une algèbre normée involutive et soit
A l’algèbre normée
déduite de A par adjonction d’un élément unité. Munie de l’involution
définie au n
o 2, l’algèbre
A est une algèbre normée involutive. Si A est
une algèbre de Banach involutive, alors
A est également une algèbre
de Banach involutive.
Si A est une algèbre normée involutive, l’adhérence d’une sousalgèbre involutive est une sous-algèbre involutive. Si M ⊂ A, la plus
petite sous-algèbre fermée involutive contenant M est appelée la sousalgèbre fermée involutive engendrée par M ; c’est l’adhérence de la sousalgèbre engendrée par M ∪ M ∗ . Si M se réduit à un élément normal,
l’algèbre fermée involutive engendrée par M est commutative, et tous
ses éléments sont normaux.
De même, si A est une algèbre normée involutive unifère et M un
sous-ensemble de A, la plus petite sous-algèbre unifère fermée involutive contenant M est appelée la sous-algèbre unifère fermée involutive
engendrée par M ; c’est l’adhérence de la sous-algèbre unifère engendrée par M ∪ M ∗ . Si M se réduit à un élément normal, l’algèbre unifère
fermée involutive engendrée par M est commutative, et tous ses éléments sont normaux.
Le quotient d’une algèbre normée involutive par un idéal bilatère
fermé auto-adjoint, la complétée et l’opposée d’une algèbre normée
involutive sont de façon naturelle des algèbres normées involutives.
Si A est une algèbre normée involutive, l’ensemble A h des éléments
hermitiens de A est un espace vectoriel réel normé.
Lemme 4. — Soit A une algèbre normée involutive. Pour toute forme
linéaire f continue sur A, on a f ∗ = f . Si de plus f est hermitienne, alors f = f |A h .
La première assertion découle des définitions. Pour la seconde, notons g la restriction de f à A h . On a f g. Montrons l’inégalité
réciproque. Pour tout ε > 0, il existe x ∈ A tel que x 1 et