TS I.102
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
|f (x)| f − ε. En multipliant x par un nombre complexe de module 1, on peut supposer f (x) 0. Alors l’élément
1
2 (x+x ∗ ) appartient
à A h et est de norme 1. On a
g
1
2
(x + x
∗ )
=
1
2
f (x) + f (x
∗ )
= f (x) f − ε
donc g f − ε. On en déduit que g f .
On identifiera dans la suite les formes linéaires continues hermitiennes sur A et les formes linéaires continues réelles sur A h .
Lemme 5. — Soit A une algèbre de Banach involutive.
a) Pour tout x ∈ A, on a exp(x) ∗ = exp(x ∗ ) ;
b) Soit x ∈ A h un élément hermitien. Alors exp(ix) est unitaire.
En effet, puisque l’involution sur A est continue, on a
exp(x)
∗ =
∞
n=0
x n
n!
∗
=
∞
n=0
(x ∗ ) n
n!
= exp(x
∗ )
pour tout x ∈ A (formule (9) de I, p. 78). Si x ∈ A h , il vient alors
exp(ix)
∗ = exp((ix)
∗ ) = exp(−ix) = exp(ix)
−1
(formule (11) de I, p. 78).
4. Algèbres stellaires
Définition 3. — On appelle algèbre stellaire une algèbre de Banach
involutive A telle que x 2 = x ∗ x pour tout x ∈ A.
Si A et B sont des algèbres stellaires, un morphisme, ou morphisme
d’algèbres stellaires, de A dans B est un morphisme d’algèbres involutives de A dans B. Un isomorphisme de A dans B est un isomorphisme
d’algèbres involutives de A dans B.
Certains auteurs parlent de « C
∗ -algèbre ».
Soit A une algèbre stellaire. Une sous-algèbre stellaire de A est une
sous-algèbre involutive fermée de A.
Exemples. — 1) L’algèbre de Banach involutive des endomorphismes
continus d’un espace hilbertien complexe (exemple 3 de I, p. 100) est
une algèbre stellaire (EVT, V, p. 39, prop. 2).
2) Soit X un espace topologique localement compact. L’algèbre de
Banach involutive C b (X) des fonctions continues et bornées à valeurs