N
o 4
ALGÈBRES STELLAIRES
TS I.103
complexes sur X (exemple 1 de I, p. 100) est une algèbre stellaire.
En effet, pour toute fonction f ∈ C b (X), on a f ∗ f = |f | 2 , et donc
f ∗ f = |f | 2 = f 2 .
Soit A = C 0 (X) la sous-algèbre de Banach involutive des fonctions
tendant vers 0 à l’infini. C’est une sous-algèbre stellaire de C b (X). Pour
toute fonction f ∈ A, on a f = (f ), puisque Sp
A (f ) = f (X) ∪ {0}.
Soient X et Y des espaces topologiques localement compacts. Pour
toute application partielle propre ϕ de X dans Y (déf. 1 de I, p. 33),
le morphisme d’algèbres ϕ ∗ de C 0 (Y) dans C 0 (X) (prop. 3 de I, p. 34)
est un morphisme d’algèbres involutives. Réciproquement, tout morphisme d’algèbres stellaires π : C 0 (Y) → C 0 (X) est de cette forme (loc.
cit.).
3) Soient X un espace topologique compact et x 0 ∈ X un élément fixé
de X. La sous-algèbre C (X) de C (X) des fonctions continues f : X →
C telles que f (x 0 ) = 0 est une algèbre stellaire.
4) Soient X un espace topologique séparé et µ une mesure positive sur X. L’algèbre de Banach involutive L ∞ (X, µ) est une algèbre
stellaire commutative unifère.
5) Soit (A i ) une famille d’algèbres stellaires. L’algèbre de Banach
involutive A produit des A i (exemple 5 de I, p. 101) est une algèbre
stellaire, appelée algèbre stellaire produit des A i .
6) Soit A une algèbre stellaire. Si B est une sous-algèbre involutive
fermée de A, alors B est une algèbre stellaire. On verra (V, à paraître)
que toute algèbre stellaire est isomorphe à une sous-algèbre involutive
fermée de l’algèbre stellaire des endomorphismes d’un espace hilbertien
(exemple 1).
7) Soit A une algèbre stellaire. Si M ⊂ A est une partie quelconque,
alors la sous-algèbre fermée involutive de A engendrée par M est une
algèbre stellaire, appelée sous-algèbre stellaire de A engendrée par M.
Si A est de plus unifère, alors la sous-algèbre unifère fermée involutive
engendrée par M est une algèbre stellaire unifère, appelée sous-algèbre
stellaire unifère de A engendrée par M.
8) En général, l’algèbre de Banach involutive M 1 (G) (exemple 4 de
I, p. 100) n’est pas une algèbre stellaire (I, p. 181, exerc. 8).
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ALGÈBRES STELLAIRES
TS I.103
complexes sur X (exemple 1 de I, p. 100) est une algèbre stellaire.
En effet, pour toute fonction f ∈ C b (X), on a f ∗ f = |f | 2 , et donc
f ∗ f = |f | 2 = f 2 .
Soit A = C 0 (X) la sous-algèbre de Banach involutive des fonctions
tendant vers 0 à l’infini. C’est une sous-algèbre stellaire de C b (X). Pour
toute fonction f ∈ A, on a f = (f ), puisque Sp
A (f ) = f (X) ∪ {0}.
Soient X et Y des espaces topologiques localement compacts. Pour
toute application partielle propre ϕ de X dans Y (déf. 1 de I, p. 33),
le morphisme d’algèbres ϕ ∗ de C 0 (Y) dans C 0 (X) (prop. 3 de I, p. 34)
est un morphisme d’algèbres involutives. Réciproquement, tout morphisme d’algèbres stellaires π : C 0 (Y) → C 0 (X) est de cette forme (loc.
cit.).
3) Soient X un espace topologique compact et x 0 ∈ X un élément fixé
de X. La sous-algèbre C (X) de C (X) des fonctions continues f : X →
C telles que f (x 0 ) = 0 est une algèbre stellaire.
4) Soient X un espace topologique séparé et µ une mesure positive sur X. L’algèbre de Banach involutive L ∞ (X, µ) est une algèbre
stellaire commutative unifère.
5) Soit (A i ) une famille d’algèbres stellaires. L’algèbre de Banach
involutive A produit des A i (exemple 5 de I, p. 101) est une algèbre
stellaire, appelée algèbre stellaire produit des A i .
6) Soit A une algèbre stellaire. Si B est une sous-algèbre involutive
fermée de A, alors B est une algèbre stellaire. On verra (V, à paraître)
que toute algèbre stellaire est isomorphe à une sous-algèbre involutive
fermée de l’algèbre stellaire des endomorphismes d’un espace hilbertien
(exemple 1).
7) Soit A une algèbre stellaire. Si M ⊂ A est une partie quelconque,
alors la sous-algèbre fermée involutive de A engendrée par M est une
algèbre stellaire, appelée sous-algèbre stellaire de A engendrée par M.
Si A est de plus unifère, alors la sous-algèbre unifère fermée involutive
engendrée par M est une algèbre stellaire unifère, appelée sous-algèbre
stellaire unifère de A engendrée par M.
8) En général, l’algèbre de Banach involutive M 1 (G) (exemple 4 de
I, p. 100) n’est pas une algèbre stellaire (I, p. 181, exerc. 8).