TS I.104
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Lemme 6. — Soit A une algèbre de Banach munie d’une involution
vérifiant
(1)
x
2 x
∗ x
pour tout x ∈ A. Alors A est une algèbre stellaire.
Soit x ∈ A. On a alors x 2 x ∗ · ·x, d’où x x ∗ . En
échangeant le rôle de x et x ∗ , on voit que x = x ∗ . Ainsi x ∗ x
x ∗ x x 2 et l’hypothèse implique l’égalité x 2 = x ∗ x.
Lemme 7. — Soit A une algèbre stellaire.
a) La représentation regulière γ de A (déf. 1 de I, p. 16) est isométrique, c’est-à-dire
x = sup
y1
xy,
pour tout x ∈ A ;
b) Pour tout x ∈ A h , on a
(2)
(x) = x.
Soit x ∈ A. On a sup y1 xy x. Pour prouver que x
sup y1 xy, on peut supposer x = 1. Alors, l’élément y = x ∗
vérifie y = x ∗ = 1, et xy = x 2 = 1, d’où l’assertion a).
Supposons que x est hermitien. Il vient x 2 = x ∗ x = x 2 , d’où
par récurrence x 2 n 2 −n = x pour tout entier n 1, d’où l’assertion
b) d’après la prop. 1 de I, p. 20.
Remarques. — 1) Soit A une algèbre stellaire unifère. On a
1
2 = 1
∗ 1 = 1,
donc la norme 1 est nulle ou égale à 1. Si A = {0}, on en déduit
1 = 1. Par suite, pour tout élément unitaire u de A, on a u =
u ∗ u 1/2 = 1.
2) Soit A une algèbre normée involutive. Si x 2 = x ∗ x pour tout
x ∈ A, la complétée
A de A est une algèbre stellaire.
Proposition 2. — Soit A une algèbre de Banach involutive, soit B
une algèbre stellaire et soit π un morphisme d’algèbres involutives de A
dans B. On a π(x) x pour tout x ∈ A, et en particulier π est
continu.