N
o 4
ALGÈBRES STELLAIRES
TS I.105
Pour tout x ∈ A, on a Sp
B (π(x)) ⊂ Sp
A (x), donc (π(x)) (x)
x. Comme π(x ∗ x) ∈ B h , on a π(x ∗ x) = (π(x ∗ x)) (formule (2)),
donc
π(x)
2 = π(x
∗ x) = (π(x
∗ x)) x
∗ x = x
2 .
Proposition 3. — Soit A une algèbre stellaire et soit
A l’algèbre
involutive déduite de A par adjonction d’un élément unité. Il existe
une unique norme sur
A prolongeant celle de A et faisant de
A une
algèbre stellaire.
L’unicité d’une telle norme résulte de la prop. 2. Montrons maintenant son existence. Notons
e l’élément unité de
A.
Supposons d’abord que A possède un élément unité e. Le produit
des algèbres normées involutives A et C( e − e) s’identifie à
A et est
une algèbre stellaire (exemple 5). La norme sur
A prolonge celle de A,
d’où l’assertion.
Supposons désormais que A ne possède pas d’élément unité. Pour
tout x ∈
A, soit γ x l’opérateur de multiplication y → xy de A dans A,
et posons x
A
= γ x . L’application x → →x
A
est une semi-norme
sur
A. Pour tous x et x de
A, on a xx
A
x
A
x
A
. De plus,
d’après le lemme 7, on a x
A
= x pour tout x ∈ A.
Montrons que l’application x → →x
A
est une norme sur
A. Soient
λ ∈ C et x ∈ A tels que λ e + x
A
= 0. Si λ = 0, la condition
(λ e + x)y = 0 pour tout y ∈ A implique que −λ −1 x est un élément
unité à gauche dans A. De même, l’élément −λ
−1 x ∗ est un élément
unité à droite. Ainsi, l’algèbre A possèderait alors un élément unité,
contrairement à l’hypothèse. On a donc λ = 0. Mais alors 0 = x
A
=
x, et donc x = 0.
Comme A est complet et de codimension 1 dans
A, l’espace
A muni
de la norme x → →x
A
est complet. Pour conclure, il est donc suffisant
de montrer que l’on a x 2
A
x ∗ x
A
pour tout x ∈
A (lemme 6). On
peut supposer que x
A
= 1. Pour tout nombre réel r < 1, il existe
donc y ∈ A tel que y = y ∗ 1 et xy 2 r. Comme xy ∈ A, on
a
x
∗ x
A
x
∗ xy y
∗ (x
∗ x)y = (xy)
∗ (xy) = xy
2 r.
On en déduit que x ∗ x
A
1, et donc l’algèbre involutive
A munie de
la norme x → →x
A
est une algèbre stellaire.
o 4
ALGÈBRES STELLAIRES
TS I.105
Pour tout x ∈ A, on a Sp
B (π(x)) ⊂ Sp
A (x), donc (π(x)) (x)
x. Comme π(x ∗ x) ∈ B h , on a π(x ∗ x) = (π(x ∗ x)) (formule (2)),
donc
π(x)
2 = π(x
∗ x) = (π(x
∗ x)) x
∗ x = x
2 .
Proposition 3. — Soit A une algèbre stellaire et soit
A l’algèbre
involutive déduite de A par adjonction d’un élément unité. Il existe
une unique norme sur
A prolongeant celle de A et faisant de
A une
algèbre stellaire.
L’unicité d’une telle norme résulte de la prop. 2. Montrons maintenant son existence. Notons
e l’élément unité de
A.
Supposons d’abord que A possède un élément unité e. Le produit
des algèbres normées involutives A et C( e − e) s’identifie à
A et est
une algèbre stellaire (exemple 5). La norme sur
A prolonge celle de A,
d’où l’assertion.
Supposons désormais que A ne possède pas d’élément unité. Pour
tout x ∈
A, soit γ x l’opérateur de multiplication y → xy de A dans A,
et posons x
A
= γ x . L’application x → →x
A
est une semi-norme
sur
A. Pour tous x et x de
A, on a xx
A
x
A
x
A
. De plus,
d’après le lemme 7, on a x
A
= x pour tout x ∈ A.
Montrons que l’application x → →x
A
est une norme sur
A. Soient
λ ∈ C et x ∈ A tels que λ e + x
A
= 0. Si λ = 0, la condition
(λ e + x)y = 0 pour tout y ∈ A implique que −λ −1 x est un élément
unité à gauche dans A. De même, l’élément −λ
−1 x ∗ est un élément
unité à droite. Ainsi, l’algèbre A possèderait alors un élément unité,
contrairement à l’hypothèse. On a donc λ = 0. Mais alors 0 = x
A
=
x, et donc x = 0.
Comme A est complet et de codimension 1 dans
A, l’espace
A muni
de la norme x → →x
A
est complet. Pour conclure, il est donc suffisant
de montrer que l’on a x 2
A
x ∗ x
A
pour tout x ∈
A (lemme 6). On
peut supposer que x
A
= 1. Pour tout nombre réel r < 1, il existe
donc y ∈ A tel que y = y ∗ 1 et xy 2 r. Comme xy ∈ A, on
a
x
∗ x
A
x
∗ xy y
∗ (x
∗ x)y = (xy)
∗ (xy) = xy
2 r.
On en déduit que x ∗ x
A
1, et donc l’algèbre involutive
A munie de
la norme x → →x
A
est une algèbre stellaire.