TS I.106
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Définition 4. — On dit que
A, munie de la norme de la prop. 3, est
l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément unité.
Lorsque A = {0}, la norme d’algèbre stellaire sur l’algèbre normée
involutive
A n’est pas celle considérée dans l’exemple 6 de I, p. 101
(cf. exercice 10 de I, p. 181).
Proposition 4. — Soit A une algèbre stellaire.
a) Si A possède un élément unité et si u est un élément unitaire
de A, alors Sp(u) ⊂ U ;
b) Si h est un élément hermitien de A, alors Sp
(h) ⊂ R.
On peut supposer que A est non nulle. Démontrons l’assertion a).
Soit u un élément unitaire de A. On a u = u −1 = 1 (remarque 1),
donc Sp(u) ⊂ U (I, p. 26, cor. 3). Pour démontrer b), on peut supposer
que A est unifère (prop. 3). Soit h un élément hermitien de A. Alors
exp(ih) est unitaire (lemme 5 de I, p. 102). Ainsi, d’après le cor. 2 de
I, p. 67 et a), on a exp(i Sp(h)) = Sp(exp(ih)) ⊂ U, ce qui signifie que
Sp(h) ⊂ R.
Proposition 5. — Soient A une algèbre stellaire unifère et B une
sous-algèbre stellaire de A contenant l’élément unité de A. Alors B est
une sous-algèbre pleine de A. En particulier, on a Sp B (x) = Sp A (x)
pour tout x dans B.
Soit x un élément hermitien de B. Comme Sp B (x) ⊂ R (prop. 4),
la prop. 6 de I, p. 28 montre que Sp B (x) = Sp A (x). En particulier, x
est inversible dans B si et seulement si il est inversible dans A.
Soit maintenant x un élément quelconque dans B inversible dans A.
Alors x ∗ est inversible dans A, et xx ∗ est inversible dans A. Comme
xx ∗ est hermitien, ce qui précède montre que xx ∗ est inversible dans
B. Cela implique que x est inversible à droite dans B. De même, on
vérifie que x est inversible à gauche dans B, et par suite que x est
inversible dans B. Ainsi, B est une sous-algèbre pleine de A.
Corollaire. — Soit A une algèbre stellaire et soit B une sous-algèbre
stellaire de A. Alors on a Sp
B (x) = Sp
A (x) pour tout x dans B.
Par adjonction d’un élément unité (prop. 3), cela résulte de la
prop. 5.
Proposition 6 (Théorème de Fuglede–Putnam)
Soit A une algèbre stellaire unifère. Soient a et b des éléments
normaux de A. Si c ∈ A vérifie ac = cb, alors a ∗ c = cb ∗ .
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Définition 4. — On dit que
A, munie de la norme de la prop. 3, est
l’algèbre stellaire déduite de A par adjonction d’un élément unité.
Lorsque A = {0}, la norme d’algèbre stellaire sur l’algèbre normée
involutive
A n’est pas celle considérée dans l’exemple 6 de I, p. 101
(cf. exercice 10 de I, p. 181).
Proposition 4. — Soit A une algèbre stellaire.
a) Si A possède un élément unité et si u est un élément unitaire
de A, alors Sp(u) ⊂ U ;
b) Si h est un élément hermitien de A, alors Sp
(h) ⊂ R.
On peut supposer que A est non nulle. Démontrons l’assertion a).
Soit u un élément unitaire de A. On a u = u −1 = 1 (remarque 1),
donc Sp(u) ⊂ U (I, p. 26, cor. 3). Pour démontrer b), on peut supposer
que A est unifère (prop. 3). Soit h un élément hermitien de A. Alors
exp(ih) est unitaire (lemme 5 de I, p. 102). Ainsi, d’après le cor. 2 de
I, p. 67 et a), on a exp(i Sp(h)) = Sp(exp(ih)) ⊂ U, ce qui signifie que
Sp(h) ⊂ R.
Proposition 5. — Soient A une algèbre stellaire unifère et B une
sous-algèbre stellaire de A contenant l’élément unité de A. Alors B est
une sous-algèbre pleine de A. En particulier, on a Sp B (x) = Sp A (x)
pour tout x dans B.
Soit x un élément hermitien de B. Comme Sp B (x) ⊂ R (prop. 4),
la prop. 6 de I, p. 28 montre que Sp B (x) = Sp A (x). En particulier, x
est inversible dans B si et seulement si il est inversible dans A.
Soit maintenant x un élément quelconque dans B inversible dans A.
Alors x ∗ est inversible dans A, et xx ∗ est inversible dans A. Comme
xx ∗ est hermitien, ce qui précède montre que xx ∗ est inversible dans
B. Cela implique que x est inversible à droite dans B. De même, on
vérifie que x est inversible à gauche dans B, et par suite que x est
inversible dans B. Ainsi, B est une sous-algèbre pleine de A.
Corollaire. — Soit A une algèbre stellaire et soit B une sous-algèbre
stellaire de A. Alors on a Sp
B (x) = Sp
A (x) pour tout x dans B.
Par adjonction d’un élément unité (prop. 3), cela résulte de la
prop. 5.
Proposition 6 (Théorème de Fuglede–Putnam)
Soit A une algèbre stellaire unifère. Soient a et b des éléments
normaux de A. Si c ∈ A vérifie ac = cb, alors a ∗ c = cb ∗ .