N
o 5
ALGÈBRES STELLAIRES COMMUTATIVES
TS I.107
L’hypothèse implique (wa) k c = c(wb) k pour tout entier k 0 et
tout w ∈ C, donc e wa c = ce wb (formule (9) de I, p. 78). Considérons la
fonction f de C dans A définie par z → e −za ∗ ce zb ∗ . C’est une fonction
holomorphe sur C, dont la dérivée vérifie
f
(z) = −a
∗ e
−za ∗ ce
zb ∗ + e
−za ∗ cb
∗ e
zb ∗
pour tout z ∈ C. Puisque c = e −za ce zb , on peut écrire
f (z) = e
−za ∗ e
za c e
−zb e
zb ∗ .
Puisque a et b sont normaux, les éléments e −za ∗ e za = e −za ∗ +za et
e −zb e zb ∗ = e −zb+zb ∗ de A sont unitaires pour tout z ∈ C (lemme 5
de I, p. 102), donc de norme 1. Par conséquent, on a f (z) c
pour tout z ∈ C. La fonction f est donc constante (VAR, R1, 3.3.6,
p. 29), c’est-à-dire que f (z) = f (0) = c pour tout z ∈ C. Mais alors
−a ∗ c + cb ∗ = f (0) = 0.
Corollaire. — Soit A une algèbre stellaire et a un élément normal
de A. Le commutant (resp. le bicommutant) de {a, a ∗ } coïncide avec
le commutant (resp. le bicommutant) de a.
Il suffit de prendre b = a dans la proposition.
5. Algèbres stellaires commutatives
Lemme 8. — Soient X et Y des espaces métriques, l’espace X étant
complet. Soit f une application de X dans Y telle que
d(f (x), f (y)) d(x, y)
pour tous x et y dans X et telle que le graphe de f est fermé dans
X × Y. Alors f est une application fermée.
Soit F une partie fermée de X et soit (y n ) n∈N une suite dans f (F) qui
converge vers y ∈ Y. Pour tout n ∈ N, soit x n ∈ F tel que f (x n ) = y n .
L’hypothèse implique que la suite (x n ) n∈N est une suite de Cauchy ;
soit x ∈ X sa limite ; c’est un élément de F, car F est fermé. On a de
plus (x n , f (x n )) → (x, y) dans X×Y. Comme le graphe de f est fermé,
il en découle que y = f (x) appartient à f (F).
Lemme 9. — Soit A une algèbre stellaire commutative. Tout caractère
de A est hermitien et la transformation de Gelfand est un morphisme
d’algèbres stellaires de A dans C 0 (X(A)).