TS I.108
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Il suffit de démontrer la première assertion (proposition 7 de I, p. 38
et lemme 3 de I, p. 98). Soit χ un caractère de A. Pour tout élément
hermitien y de A, on a χ(y) = G A (y)(χ) ∈ Sp
(y) ⊂ R (prop. 4 de
I, p. 106). Par conséquent, le caractère χ est hermitien (prop. 1 de I,
p. 95).
Théorème 1. — Soit A une algèbre stellaire commutative. La transformation de Gelfand est un isomorphisme isométrique de l’algèbre
stellaire A sur l’algèbre stellaire C 0 (X(A)) des fonctions continues sur
X(A) tendant vers 0 à l’infini.
La transformation de Gelfand est un morphisme d’algèbres involutives de A dans C 0 (X(A)) (lemme 9). Soit B son image. C’est une
sous-algèbre involutive de C 0 (X(A)). Les éléments de B séparent les
points de X(A) par définition. Soit χ ∈ X(A). Il existe x ∈ A tel que
χ(x) = 0, donc f = G (x) est un élément de B tel que f (χ) = 0. D’après
TG, X, p. 40, cor. 2, la sous-algèbre B est donc dense dans C 0 (X(A)).
Pour tout élément hermitien y de A, on a G (y) = (y) = y
(prop. 7 de I, p. 38 et formule (2) de I, p. 104), d’où, pour tout x ∈ A,
les égalités
x
2 = x
∗ x = G (x
∗ x) = (x) · G (x) = G (x)
2 .
Ainsi G est isométrique, et son image B est donc fermée (lemme 8).
On conclut que B = C 0 (X(A)).
Corollaire 1. — Soient A une algèbre stellaire et x un élément
normal de A. Alors x = (x).
Comme la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x et x ∗ est
commutative, on peut supposer que A est commutative. Dans ce cas,
le cor. résulte du th. 1, de l’exemple 2 de I, p. 102 et du th. 1 de I,
p. 24.
Corollaire 2. — Soit A une algèbre stellaire commutative.
a) Il existe un espace topologique localement compact X tel que A
est isomorphe à l’algèbre stellaire C 0 (X) ;
b) Soit B une algèbre stellaire commutative. L’application π →
X (π) est une bijection de l’ensemble des morphismes d’algèbres stellaires de A dans B sur l’ensemble des applications partielles propres
de X(B) dans X(A) (déf. 1 de I, p. 33).
Le théorème 1 établit la première assertion, et la seconde assertion
découle de la prop. 3 de I, p. 34 et de l’exemple 2 de I, p. 102.
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
Il suffit de démontrer la première assertion (proposition 7 de I, p. 38
et lemme 3 de I, p. 98). Soit χ un caractère de A. Pour tout élément
hermitien y de A, on a χ(y) = G A (y)(χ) ∈ Sp
(y) ⊂ R (prop. 4 de
I, p. 106). Par conséquent, le caractère χ est hermitien (prop. 1 de I,
p. 95).
Théorème 1. — Soit A une algèbre stellaire commutative. La transformation de Gelfand est un isomorphisme isométrique de l’algèbre
stellaire A sur l’algèbre stellaire C 0 (X(A)) des fonctions continues sur
X(A) tendant vers 0 à l’infini.
La transformation de Gelfand est un morphisme d’algèbres involutives de A dans C 0 (X(A)) (lemme 9). Soit B son image. C’est une
sous-algèbre involutive de C 0 (X(A)). Les éléments de B séparent les
points de X(A) par définition. Soit χ ∈ X(A). Il existe x ∈ A tel que
χ(x) = 0, donc f = G (x) est un élément de B tel que f (χ) = 0. D’après
TG, X, p. 40, cor. 2, la sous-algèbre B est donc dense dans C 0 (X(A)).
Pour tout élément hermitien y de A, on a G (y) = (y) = y
(prop. 7 de I, p. 38 et formule (2) de I, p. 104), d’où, pour tout x ∈ A,
les égalités
x
2 = x
∗ x = G (x
∗ x) = (x) · G (x) = G (x)
2 .
Ainsi G est isométrique, et son image B est donc fermée (lemme 8).
On conclut que B = C 0 (X(A)).
Corollaire 1. — Soient A une algèbre stellaire et x un élément
normal de A. Alors x = (x).
Comme la sous-algèbre stellaire de A engendrée par x et x ∗ est
commutative, on peut supposer que A est commutative. Dans ce cas,
le cor. résulte du th. 1, de l’exemple 2 de I, p. 102 et du th. 1 de I,
p. 24.
Corollaire 2. — Soit A une algèbre stellaire commutative.
a) Il existe un espace topologique localement compact X tel que A
est isomorphe à l’algèbre stellaire C 0 (X) ;
b) Soit B une algèbre stellaire commutative. L’application π →
X (π) est une bijection de l’ensemble des morphismes d’algèbres stellaires de A dans B sur l’ensemble des applications partielles propres
de X(B) dans X(A) (déf. 1 de I, p. 33).
Le théorème 1 établit la première assertion, et la seconde assertion
découle de la prop. 3 de I, p. 34 et de l’exemple 2 de I, p. 102.