N
o 6
CALCUL FONCTIONNEL
TS I.109
Corollaire 3. — Soit A une algèbre stellaire commutative unifère.
a) Il existe un espace topologique compact X tel que A est isomorphe
à l’algèbre stellaire C (X) ;
b) Soit B une algèbre stellaire commutative unifère. L’application
π → X(π) est une bijection de l’ensemble des morphismes unifères
d’algèbres stellaires A → B dans l’ensemble des applications continues
de X(B) dans X(A).
Cela découle de ce qui précède et de la prop. 4 de I, p. 35.
Remarque. — * Soit G la catégorie dont les objets sont les espaces
localement compacts et dont les morphismes sont les applications partielles propres (déf. 1 de I, p. 33), et soit S la catégorie des algèbres
stellaires commutatives, dont les morphismes sont les morphismes d’algèbres involutives. Considérons le foncteur de S dans la catégorie
opposée G ◦ qui associe à une algèbre stellaire commutative A l’espace localement compact X(A) des caractères non nuls de A, et à un
morphisme ϕ : A → B d’algèbres stellaires commutatives l’application
continue X (ϕ). Le th. 1 et le cor. 2 signifient que ce foncteur est une
équivalence de catégories, et qu’un quasi-inverse de ce foncteur est le
foncteur qui associe à un espace topologique localement compact X
l’algèbre stellaire commutative C 0 (X).
De même, le corollaire 3 signifie que la catégorie opposée de la catégorie des espaces compacts est équivalente à la catégorie des algèbres
stellaires commutatives unifères. *
6. Calcul fonctionnel dans les algèbres stellaires unifères
Dans ce numéro, A est une algèbre stellaire unifère et x est un
élément normal de A.
Soit B la sous-algèbre stellaire unifère de A engendrée par x ; elle est
commutative et contenue dans le bicommutant de {x, x ∗ }, donc dans le
bicommutant de x (cor. de la prop. 6 de I, p. 106). La transformation de
Gelfand G B : B → C (X(B)) est un isomorphisme d’algèbres stellaires
(th. 1 de I, p. 108). On a Sp B (x) = Sp A (x) (prop. 5 de I, p. 106).
Lemme 10. — L’application ev x : χ → χ(x) induit un homéomorphisme de X(B) sur Sp A (x).
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CALCUL FONCTIONNEL
TS I.109
Corollaire 3. — Soit A une algèbre stellaire commutative unifère.
a) Il existe un espace topologique compact X tel que A est isomorphe
à l’algèbre stellaire C (X) ;
b) Soit B une algèbre stellaire commutative unifère. L’application
π → X(π) est une bijection de l’ensemble des morphismes unifères
d’algèbres stellaires A → B dans l’ensemble des applications continues
de X(B) dans X(A).
Cela découle de ce qui précède et de la prop. 4 de I, p. 35.
Remarque. — * Soit G la catégorie dont les objets sont les espaces
localement compacts et dont les morphismes sont les applications partielles propres (déf. 1 de I, p. 33), et soit S la catégorie des algèbres
stellaires commutatives, dont les morphismes sont les morphismes d’algèbres involutives. Considérons le foncteur de S dans la catégorie
opposée G ◦ qui associe à une algèbre stellaire commutative A l’espace localement compact X(A) des caractères non nuls de A, et à un
morphisme ϕ : A → B d’algèbres stellaires commutatives l’application
continue X (ϕ). Le th. 1 et le cor. 2 signifient que ce foncteur est une
équivalence de catégories, et qu’un quasi-inverse de ce foncteur est le
foncteur qui associe à un espace topologique localement compact X
l’algèbre stellaire commutative C 0 (X).
De même, le corollaire 3 signifie que la catégorie opposée de la catégorie des espaces compacts est équivalente à la catégorie des algèbres
stellaires commutatives unifères. *
6. Calcul fonctionnel dans les algèbres stellaires unifères
Dans ce numéro, A est une algèbre stellaire unifère et x est un
élément normal de A.
Soit B la sous-algèbre stellaire unifère de A engendrée par x ; elle est
commutative et contenue dans le bicommutant de {x, x ∗ }, donc dans le
bicommutant de x (cor. de la prop. 6 de I, p. 106). La transformation de
Gelfand G B : B → C (X(B)) est un isomorphisme d’algèbres stellaires
(th. 1 de I, p. 108). On a Sp B (x) = Sp A (x) (prop. 5 de I, p. 106).
Lemme 10. — L’application ev x : χ → χ(x) induit un homéomorphisme de X(B) sur Sp A (x).