TS I.110
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
L’application x → χ(x) de X(B) dans C est continue, et son image
est égale à Sp B (x) d’après la prop. 6 de I, p. 37, donc à Sp A (x). Comme
les caractères de B sont hermitiens (lemme 9 de I, p. 107), des caractères de B qui coïncident en x sont également égaux en x ∗ , donc sont
égaux sur la sous-algèbre stellaire unifère B engendrée par x. Cela
prouve que l’application ev x est injective. Comme X(B) est compact
et C est séparé, elle induit un homéomorphisme de X(B) sur son image,
d’où le lemme.
On déduit du lemme un isomorphisme d’algèbres stellaires
ϕ x : C (Sp A (x)) → C (X(B)). Il applique une fonction f ∈ C (Sp A (x))
sur la fonction χ → f (χ(x)). L’application G
−1
B ◦ ϕ x est un isomorphisme de l’algèbre stellaire C (Sp A (x)) sur B.
Définition 5. — Le morphisme involutif f → (G
−1
B ◦ ϕ x )(f ) de
C (Sp A (x)) dans A est appelé application de calcul fonctionnel continu
de x dans A. On le note f → f (x).
Remarque. — L’application f → f (x) est isométrique ; son image est
la sous-algèbre stellaire unifère B engendrée par x, qui est contenue
dans le bicommutant de x.
Si f est la restriction à Sp A (x) d’une fonction de la forme z →
P(z, z), où P ∈ C[X, Y] est un polynôme, alors on a f (x) = P(x, x ∗ )
au sens algébrique usuel.
Exemples. — 1) Supposons qu’il existe λ ∈ C tel que Sp A (x) est réduit
à λ. On a alors x = λ · 1. En effet, la fonction identique de Sp A (x)
est égale à λ, donc son image par l’application de calcul fonctionnel,
c’est-à-dire x, est égale à λ · 1.
2) Pour que x soit hermitien, il faut et il suffit que Sp A (x) soit
contenu dans R. En effet, soit f l’application continue sur Sp A (x)
donnée par f (z) = z − z. Alors x est hermitien si et seulement si
f (x) = 0, c’est-à-dire si f est nulle, c’est-à-dire si Sp A (x) est contenu
dans R.
3) Pour que x soit unitaire, il faut et il suffit que son spectre soit
contenu dans le cercle unité de C. En effet, soit f ∈ C (Sp A (x)) la fonction définie par f (z) = zz − 1 ; l’élément x est unitaire si et seulement
si f (x) = 0, c’est-à-dire si f est nulle.
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
L’application x → χ(x) de X(B) dans C est continue, et son image
est égale à Sp B (x) d’après la prop. 6 de I, p. 37, donc à Sp A (x). Comme
les caractères de B sont hermitiens (lemme 9 de I, p. 107), des caractères de B qui coïncident en x sont également égaux en x ∗ , donc sont
égaux sur la sous-algèbre stellaire unifère B engendrée par x. Cela
prouve que l’application ev x est injective. Comme X(B) est compact
et C est séparé, elle induit un homéomorphisme de X(B) sur son image,
d’où le lemme.
On déduit du lemme un isomorphisme d’algèbres stellaires
ϕ x : C (Sp A (x)) → C (X(B)). Il applique une fonction f ∈ C (Sp A (x))
sur la fonction χ → f (χ(x)). L’application G
−1
B ◦ ϕ x est un isomorphisme de l’algèbre stellaire C (Sp A (x)) sur B.
Définition 5. — Le morphisme involutif f → (G
−1
B ◦ ϕ x )(f ) de
C (Sp A (x)) dans A est appelé application de calcul fonctionnel continu
de x dans A. On le note f → f (x).
Remarque. — L’application f → f (x) est isométrique ; son image est
la sous-algèbre stellaire unifère B engendrée par x, qui est contenue
dans le bicommutant de x.
Si f est la restriction à Sp A (x) d’une fonction de la forme z →
P(z, z), où P ∈ C[X, Y] est un polynôme, alors on a f (x) = P(x, x ∗ )
au sens algébrique usuel.
Exemples. — 1) Supposons qu’il existe λ ∈ C tel que Sp A (x) est réduit
à λ. On a alors x = λ · 1. En effet, la fonction identique de Sp A (x)
est égale à λ, donc son image par l’application de calcul fonctionnel,
c’est-à-dire x, est égale à λ · 1.
2) Pour que x soit hermitien, il faut et il suffit que Sp A (x) soit
contenu dans R. En effet, soit f l’application continue sur Sp A (x)
donnée par f (z) = z − z. Alors x est hermitien si et seulement si
f (x) = 0, c’est-à-dire si f est nulle, c’est-à-dire si Sp A (x) est contenu
dans R.
3) Pour que x soit unitaire, il faut et il suffit que son spectre soit
contenu dans le cercle unité de C. En effet, soit f ∈ C (Sp A (x)) la fonction définie par f (z) = zz − 1 ; l’élément x est unitaire si et seulement
si f (x) = 0, c’est-à-dire si f est nulle.