N
o 6
CALCUL FONCTIONNEL
TS I.111
Proposition 7. — L’application f → f (x) est l’unique morphisme
unifère d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans A tel que l’application
identique z de Sp A (x) ait pour image x.
En effet, la sous-algèbre unifère de C (Sp A (x)) engendrée par les
éléments z et z de C (Sp A (x)) est dense dans C (Sp A (x)) (TG, X, p. 40,
cor. 1). Puisque tout morphisme d’algèbres involutives de C (Sp A (x))
dans A est continu (I, p. 104, prop. 2), il existe au plus un morphisme
d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans A qui applique z sur x.
Le corollaire suivant montre que lorsque f est la restriction d’une
fonction holomorphe au voisinage de Sp A (x), la définition de f (x) coïncide avec celle du calcul fonctionnel holomorphe en une variable du
numéro 9 de I, p. 74.
Corollaire 1. — Soit f ∈ O(Sp A (x)) un germe de fonction holomorphe au voisinage de Sp A (x) et soit
f ∈ C (Sp A (x)) la fonction
continue sur Sp A (x) associée à f . On a
f (x) = f (x), où f (x) est
l’élément de A donné par le calcul fonctionnel holomorphe.
En effet, l’application f →
f (x) est un morphisme unifère continu
de O(Sp A (x)) dans A qui applique le germe de la fonction identique au
voisinage de Sp A (x) sur x. Le résultat est alors conséquence du th. 5
de I, p. 74.
Corollaire 2. — Soit f ∈ C (Sp A (x)).
a) On a
Sp A (f (x)) = f (Sp A (x)) ;
b) Pour tout g ∈ C (Sp A (f (x))), on a (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Comme f (x) appartient à la sous-algèbre pleine B de A, on a
Sp A (f (x)) = Sp B (f (x)) (prop. 5 de I, p. 106). L’isomorphisme
f → f (x) de C (Sp A (x)) dans B préserve le spectre ; on a donc
Sp B (f (x)) = Sp C (Sp A (x)) (f ) = f (Sp A (x)) (exemple 3 de I, p. 17). Cela
démontre l’assertion a).
L’application g → (g ◦ f )(x) est un morphisme unifère d’algèbres involutives de C (Sp A (f (x))) dans A qui transforme la fonction identique
de Sp A (f (x)) en f (x). D’après la prop. 7, on a donc (g◦f )(x) = g(f (x))
pour tout g ∈ C (Sp A (f (x))).
Exemple 4. — Soit X un espace localement compact et soit A = C b (X)
l’algèbre stellaire unifère commutative des fonctions continues et bornées sur X (exemple 2 de I, p. 102). Soit g ∈ A ; son spectre S est
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TS I.111
Proposition 7. — L’application f → f (x) est l’unique morphisme
unifère d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans A tel que l’application
identique z de Sp A (x) ait pour image x.
En effet, la sous-algèbre unifère de C (Sp A (x)) engendrée par les
éléments z et z de C (Sp A (x)) est dense dans C (Sp A (x)) (TG, X, p. 40,
cor. 1). Puisque tout morphisme d’algèbres involutives de C (Sp A (x))
dans A est continu (I, p. 104, prop. 2), il existe au plus un morphisme
d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans A qui applique z sur x.
Le corollaire suivant montre que lorsque f est la restriction d’une
fonction holomorphe au voisinage de Sp A (x), la définition de f (x) coïncide avec celle du calcul fonctionnel holomorphe en une variable du
numéro 9 de I, p. 74.
Corollaire 1. — Soit f ∈ O(Sp A (x)) un germe de fonction holomorphe au voisinage de Sp A (x) et soit
f ∈ C (Sp A (x)) la fonction
continue sur Sp A (x) associée à f . On a
f (x) = f (x), où f (x) est
l’élément de A donné par le calcul fonctionnel holomorphe.
En effet, l’application f →
f (x) est un morphisme unifère continu
de O(Sp A (x)) dans A qui applique le germe de la fonction identique au
voisinage de Sp A (x) sur x. Le résultat est alors conséquence du th. 5
de I, p. 74.
Corollaire 2. — Soit f ∈ C (Sp A (x)).
a) On a
Sp A (f (x)) = f (Sp A (x)) ;
b) Pour tout g ∈ C (Sp A (f (x))), on a (g ◦ f )(x) = g(f (x)).
Comme f (x) appartient à la sous-algèbre pleine B de A, on a
Sp A (f (x)) = Sp B (f (x)) (prop. 5 de I, p. 106). L’isomorphisme
f → f (x) de C (Sp A (x)) dans B préserve le spectre ; on a donc
Sp B (f (x)) = Sp C (Sp A (x)) (f ) = f (Sp A (x)) (exemple 3 de I, p. 17). Cela
démontre l’assertion a).
L’application g → (g ◦ f )(x) est un morphisme unifère d’algèbres involutives de C (Sp A (f (x))) dans A qui transforme la fonction identique
de Sp A (f (x)) en f (x). D’après la prop. 7, on a donc (g◦f )(x) = g(f (x))
pour tout g ∈ C (Sp A (f (x))).
Exemple 4. — Soit X un espace localement compact et soit A = C b (X)
l’algèbre stellaire unifère commutative des fonctions continues et bornées sur X (exemple 2 de I, p. 102). Soit g ∈ A ; son spectre S est