TS I.112
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
l’adhérence dans C de l’ensemble g(X) des valeurs de g (exemple 3 de
I, p. 17). L’application de calcul fonctionnel de g est alors l’application
f → f ◦g, pour f ∈ C (S). En effet, cette application est un morphisme
unifère d’algèbres stellaires tel que l’application identique de S a pour
image g.
Dans le cas où X est compact, on a A = C (X) et S = g(X).
Soit π : A → A un morphisme unifère d’algèbres stellaires unifères.
L’élément π(x) de A est normal et son spectre relativement à A est
contenu dans Sp A (x). On a alors :
Proposition 8. — Soit f ∈ C (Sp A (x)). Notant encore f la restriction de f à Sp A (π(x)), on a l’égalité π(f (x)) = f (π(x)). En particulier, pour tout χ ∈ X(A), on a χ(f (x)) = f (χ(x)).
Soit z l’application identique de Sp A (x). Les applications définies
par f → π(f (x)) et f → f (π(x)) sont des morphismes unifères continus d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans B qui appliquent z sur
π(x). Ces morphismes coïncident donc sur la sous-algèbre involutive
unifère de C (Sp A (x)) engendrée par z. Comme celle-ci est dense dans
C (Sp A (x)) (TG, X, p. 40, cor. 1), ces morphismes sont égaux.
Corollaire. — Supposons que A est commutative. Pour tout f ∈
C (Sp A (x)), on a G A (f (x)) = f ◦ G A (x).
Il suffit d’appliquer la prop. 8 à la transformation de Gelfand G A de A dans C (X(A)) et de remarquer (exemple ci-dessus)
que f (G A (x)) = f ◦ G A (x).
7. Applications du calcul fonctionnel
Proposition 9. — Tout morphisme injectif d’algèbres stellaires est
isométrique et, en particulier, d’image fermée.
Soient A et A des algèbres stellaires et soit π : A → A un morphisme d’algèbres involutives de A dans A .
Supposons d’abord que A et A sont unifères et que π est unifère.
On a π 1 (prop. 2). Supposons qu’il existe x dans A tel que
π(x) < x. Soit y = x ∗ x ; c’est un élément hermitien de A. Puisque
A et A sont des algèbres stellaires, on a π(y) = 2 < x 2 =
y, c’est-à-dire (π(y)) < <(y) (lemme 7 de I, p. 104). En particulier,
Sp A (π(y)) est un sous-ensemble fermé de Sp A (y), distinct de Sp A (y)
ALGÈBRES STELLAIRES
§ 6
l’adhérence dans C de l’ensemble g(X) des valeurs de g (exemple 3 de
I, p. 17). L’application de calcul fonctionnel de g est alors l’application
f → f ◦g, pour f ∈ C (S). En effet, cette application est un morphisme
unifère d’algèbres stellaires tel que l’application identique de S a pour
image g.
Dans le cas où X est compact, on a A = C (X) et S = g(X).
Soit π : A → A un morphisme unifère d’algèbres stellaires unifères.
L’élément π(x) de A est normal et son spectre relativement à A est
contenu dans Sp A (x). On a alors :
Proposition 8. — Soit f ∈ C (Sp A (x)). Notant encore f la restriction de f à Sp A (π(x)), on a l’égalité π(f (x)) = f (π(x)). En particulier, pour tout χ ∈ X(A), on a χ(f (x)) = f (χ(x)).
Soit z l’application identique de Sp A (x). Les applications définies
par f → π(f (x)) et f → f (π(x)) sont des morphismes unifères continus d’algèbres involutives de C (Sp A (x)) dans B qui appliquent z sur
π(x). Ces morphismes coïncident donc sur la sous-algèbre involutive
unifère de C (Sp A (x)) engendrée par z. Comme celle-ci est dense dans
C (Sp A (x)) (TG, X, p. 40, cor. 1), ces morphismes sont égaux.
Corollaire. — Supposons que A est commutative. Pour tout f ∈
C (Sp A (x)), on a G A (f (x)) = f ◦ G A (x).
Il suffit d’appliquer la prop. 8 à la transformation de Gelfand G A de A dans C (X(A)) et de remarquer (exemple ci-dessus)
que f (G A (x)) = f ◦ G A (x).
7. Applications du calcul fonctionnel
Proposition 9. — Tout morphisme injectif d’algèbres stellaires est
isométrique et, en particulier, d’image fermée.
Soient A et A des algèbres stellaires et soit π : A → A un morphisme d’algèbres involutives de A dans A .
Supposons d’abord que A et A sont unifères et que π est unifère.
On a π 1 (prop. 2). Supposons qu’il existe x dans A tel que
π(x) < x. Soit y = x ∗ x ; c’est un élément hermitien de A. Puisque
A et A sont des algèbres stellaires, on a π(y) = 2 < x 2 =
y, c’est-à-dire (π(y)) < <(y) (lemme 7 de I, p. 104). En particulier,
Sp A (π(y)) est un sous-ensemble fermé de Sp A (y), distinct de Sp A (y)